苏建伟，李 鹏

(1.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口，571158；2.惠州学院，数学系，广东 惠州 516007)

国内几何直观研究综述

苏建伟1，李 鹏2

(1.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口，571158；2.惠州学院，数学系，广东 惠州 516007)

“几何直观”是2011《标准》的新增核心概念之一。新世纪以来，国内对几何直观的研究成果颇丰，涉及诸多方面。对相关研究文献进行分类综述，研究发现：关于几何直观的研究主要集中在形成与发展、内涵、相关概念的辨析、教育教学价值、培养策略等方面。进一步的研究宜重视以下四个方面：增加针对中小学的实证研究；建立几何直观的分层评估量表；开辟几何直观培养的新途径；开展关于教师几何直观的MPCK研究。

几何直观；内涵；形成；发展；培养策略

随着数学课程改革不断深化，几何直观成为数学教育研究热点问题之一，它本身蕴含的深刻价值与无穷活力在不断展现。几何直观在培养学生创新能力和提升学生数学素养等方面意义深远，在作图和想象图形等涉及几何直观的内外部操作活动中也会积累起丰富的数学活动经验。《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)在总目标中明确提出，使学生能够“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维”。几何直观作为新增的核心概念之一，《标准》对其进行了言简意赅的说明：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用[1]。在过往研究中，尤其是新世纪初基础教育课程改革全面启动以来，研究者从内涵、教学价值、培养策略等方面对几何直观进行了分析。在《标准》颁布并实施背景下，理解几何直观的含义及其与相关概念的区别，进而在数学教学实践中贯彻执行，对中小学数学教师而言，尤为必要和迫切。本文以2000年至今为时间限制条件，以“几何直观”分别作为主题和关键词对中国知网期刊全文数据库及中国优秀硕士、博士学位论文全文数据库进行检索，并剔除高等数学教改、初等数学解题研究等主题的文章，共检索到108篇文章(其中核心20篇，非核心88篇)和6篇学位论文(其中5篇硕士论文，1篇博士论文)，经过筛选，选择了26篇有代表性的文献(即20篇核心期刊文章和6篇学位论文)进行综述，以期获得对几何直观研究的更为全面深刻的认识，为下一步的研究打下基础。

一、几何直观的形成与发展

考察国内目前已有文献对几何直观的形成与发展的理论思辨性研究和实证研究，具有代表性的主要观点和相关实证研究如下。

(一)相关阐释

孔凡哲、史宁中认为，“几何直观是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考的结果所致，是学习者对于数学对象的几何属性(或与几何属性密切相关的一些属性)的整体把握和直接判断能力。这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积累，又有经验基础之上的理性的概括和升华。”“高水平的几何直观的养成，主要依赖于后天，依赖于个体参与其中的几何活动，包括观察、操作、判断、推理等等。”[2]

史宁中认为，“刚进入小学的学生显然已经具有几何抽象能力，……这种抽象能力是与生俱来的，是培养几何直观的基础。教育的目的就是必须保持、深化这种能力，并使之升华为几何直观能力。”[3]

秦德生、孔凡哲认为，几何直观的建立和发展是一个历史过程，是一种进化的产物，一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影[4]。

毕力格图认为，数学直观(主要指几何直观)能力的形成与发展，依赖于个体的问题意识、知识结构、洞察与联想能力、思维模式与专业实践经验[5]。

郭民在对中美两国义务教育阶段的几何课程进行比较后，得出：学前儿童通过空间活动形成初步的几何直觉；小学阶段，鼓励学生通过动手操作、实验进一步发展几何直觉，形成空间观念；初中阶段，了解二、三维图形的联系，适当渗透几何变换思想；高中阶段，逐渐做到在头脑中进行直观[6]。

已有研究兼顾几何直观的先天基础与后天形成，研讨了几何直观的渐进性和发展性，从宏观上对几何直观的教学与培养指出了方向。

(二)相关实证研究

曾小平等在研究高中数学教师对“直线与平面平行的判定定理”的理解对教学影响的调查研究中涉及到了几何直观的内容，得出结论如下：教师认为立体几何教学应更多地培养学生的空间观念和几何直观；但教师在教学中又偏重于“逻辑证明”的教学，不太重视“几何直观”的教学；采用不严谨方法证明定理的教师更侧重于几何直观的教学[7]。上述结论可以在一定程度上反映数学教学现实。高中生经过多年的数学学习，理应具备相应的几何直观能力，但从对教师的调查看并不乐观，教师的教学没有对此作好充分准备。这也从现实角度说明了《标准》将“几何直观”作为核心概念提出的必要性和紧迫性。

李红婷在对初中生的几何推理水平进行测查后得出，在关于几何直观方面的成绩，“7年级显著低于8年级，与9年级没有显著差异；9年级略低于8年级；8、9年级学生的直观推理能力未得到应有发展。”[8]其原因可能是，“8年级学生几何直观推理成绩提升最明显。9年级学生经过近两年的推理训练之后，理性思维意识增强，在直观推理方面借助图形进行快速感知判断，准确率不高。”[9]

杨鲜燕在对高中生进行数学直观能力调查后得出，教师的专业素养对学生的直观化能力形成有显著影响；高中生在解决数学问题时普遍不采用直观化策略来解题[10]。杜佩璟在对高中生的几何直观能力进行调查后得出，中学生几何直观能力呈现按年级升高而递增的纵向分布态势[11]。

由于影响因素的复杂性、研究对象的层次和研究侧重点的差异，针对中学生几何直观的研究得出的结论莫衷一是甚至存在个别互相矛盾的地方。因此，有必要采取信度、效度更高的测查方法，建立更有针对性的模型，编制更为全面的问卷和测查题目针对不同阶段的学生进行几何直观形成与发展的实证研究。

二、几何直观的内涵

从我国几何课程基本要求的发展来看，基本遵循从空间想象能力、空间观念到几何直观的轨迹演进。国内一些专家学者从不同视角撰文发表看法，探讨几何直观的含义，但迄今尚未达成明确共识。在《标准》将其作为核心概念提出的新形势下，有必要对几何直观的内涵进行更深层次的剖析。

徐利治认为，在数学中，直观一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。例如，借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称之为几何直观[12]。王林全认为，几何直观就是根据问题的条件，利用适当图形、图像描述数学对象，描述其他学科以及日常生活问题，思考解题思路，预测所得结果[13]。钱珮玲认为，几何直观能力是一种对数学对象及数学对象之间的关系，能运用几何图形和几何语言去表达、思考和解决问题的能力。从广义上说，还包括能利用已经把握的结果和模型来帮助我们去感受、认识和理解新的概念和结果的能力[14]。蔡宏圣认为，几何直观基于“图形与几何”而又超越“图形与几何”，对图形的理解不必囿于规范的几何图形，图形重要的是表达关系，要同时看到图形的直观性和抽象性；几何直观是一种意识、技能和能力，更是一种思维方式；它承载着使学生“获得良好数学教育”的大目标[15]。

由于几何直观概念内涵不易把握，不同研究者对其运用几何图形、图形探讨、解决问题的认识方面较为一致，但对其所处地位层次性的认识有一定差异，比如它是技能、能力、思维方式还是兼而有之；如果是一种能力，对具体是什么样的能力的认识也有所区别，这些都是需要进一步深入研究的。

三、几何直观与相关概念辨析

(一)几何直观与空间观念

在课标实验稿中，“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考”是空间观念的特征之一；而在《标准》中，“利用图形描述和分析问题”是对几何直观的界定。两种描述有极大的相似性，是否只是将实验稿中的“空间观念”的这一条特征单列为“几何直观”呢？如果是这样，“几何直观”可能只是“空间观念”的某一成分。有研究者即认为，利用几何直观解决问题能力是中小学数学学习中空间观念的基本成分之一[13]。

但《标准》将“几何直观”作为核心概念列出，又并非如此简单，需要澄清两者之间的关联性与差异度。孔凡哲、史宁中从能力要求、涉及对象、思维特征方面对二者进行了辨析，认为二者有重叠成分又各有侧重。空间观念对能力的要求是即使脱离了背景也要能想象出图形的形状、关系，涉及“具体几何图形、描述的实际物体，物体方位、相互位置关系、运动变化”等对象，具有思维的连贯性。几何直观则更强调借助一定的直观背景条件进行整体把握，涉及“几乎所有的数学研究对象”，具有思维的跳跃性[2]。

(二)几何直观与直观几何

直观几何通常是指直观层面的几何学，是以通过图形进行观察，根据直观认识研究图形的性质和相关问题为主要手段的几何学，是发现几何命题、定理的有效工具和学习推理论证几何的必要前提，是一种与综合几何不同的课程设计风格。小学几何课程内容性质实质上是直观几何、实验几何，初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何[16]。

由前述可以得出，直观几何是一种几何学的形态和学习方法，几何直观是一种解决问题的思维方式和能力。充分经历直观几何的学习，可以积累几何学习活动经验，为几何直观能力的顺利形成打下良好基础。这些在学习过程中形成的几何活动经验，可以不断积淀并成为后续解决问题的丰富资源。

(三)几何直观与数形结合

很多重要的数学内容、概念都具有双重性，即数的特征和形的特征，必须从两个角度认识它们，……，让这些内容、概念变得形象、直观，变得可以运用它们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的数形结合[17]。循此思路，几何直观似乎与数形结合区别不大，在笔者参与和了解到的一些中小学数学教研活动中，教师给出的几何直观的例子往往是以往常见的数形结合的例子。如果仅仅如此，还有必要单列出“几何直观”这个核心概念吗？

数形结合是一种处理问题的数学思想方法，是指在数学活动中，将问题的数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性质转化为数量关系问题I[18]。初看起来，几何直观利用图形解决数学问题，只是数形结合的一个方面而已。但深入思考，几何直观内涵的重要方面是“直接感知、整体把握”，带有“思维的跳跃性”，虽有逻辑意味，但其逻辑性更多地体现在对直观感悟内容的验证；而数形结合的“以形助数”之“形”具有一定规范性和严谨性，带有一定程度的演绎推理特征，在某种程度上可以视为对问题的一种证明。二者虽有联系，但其根本意蕴则有别。

四、几何直观教学相关研究

(一)几何直观教材比较研究

李姝从四个视角对使用“华师版”和“东师版”教材的不同学生几何直观能力进行测查得出[19]，在图形变换能力方面学生的差异不显著，但在折叠与展开、观察与归纳、描述与证明能力方面差异较显著，并从教材编排角度进行了原因探析。涉及几何直观的教材比较研究相关结论还有，对于数学教材设置的科学类情境，中、美教材重视公式应用和计算，而俄罗斯教材注重培养学生的几何直观能力[20]。这也印证了沙雷金编著的《直观几何》教材在俄罗斯产生和应用的价值。通过教材比较进行相关研究可以为学生几何直观能力形成和发展的成因提供文本方面根据。

(二)几何直观的教育教学价值

在几何直观的教育教学价值问题上，研究者和一线教师普遍认为[21-23]，几何直观在包含“图形与几何”内容的整个数学学习过程中都发挥着重要作用，有助于学生理解抽象的概念、公式、算理和定理，有助于学生积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，在数学解题如探索解题思路、提供形象支撑、构造反例、寻找数学规律成因等方面可资为用，进而有助于培养学生个性化思考能力和创造性思维能力等。

此外，秦德生、孔凡哲指出，几何直观能力培养的教育价值有“几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用；几何直观是认识论问题，是认识的基础，有助于学生对数学的理解；几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。”[4]

孔凡哲、史宁中对上述观点作了进一步精致化，认为几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，为学生创造了一个主动思考的机会和揭示经验的策略；凭借几何直观开展的思维活动，可以成为创新性思维活动的开端，简捷、直观的载体可以巧妙地化解相关问题；借助几何直观进行思考，是一种很重要的研究策略，在科学发现过程中起着不可替代的作用[2]。

蔡宏圣认为，几何直观最重要的价值在于“帮助学生直观地理解数学”，创造学生对数学的理解，即如何把抽象的数学意义转换成儿童易于理解和运用的具体感受、直观形式[15]。引导学生形成各种直观的概念意象比定义本身更加重要。

黄翔认为，恰当地运用几何直观，不仅能更好地建立起数和形之间的联系、促进相互的转化，提供综合运用知识能力，而且能给学习带来极大的好处。借助几何图形支撑数学的抽象思维，逐步发展学生的数学素养符合学生的认知规律[24]。

(三)几何直观的培养策略

在几何直观的培养策略上，我国学者的看法也有一定一致性，如重视引导学生画图，重视对基本图形的识别、理解和记忆，注意在学生的认知结构中建立抽象语言与直观图形的对应和联系，充分有效地利用直观图形的变式，对概念作咬文嚼字式分析时结合图形，采取多样化的练习方式等。

孔凡哲、史宁中认为，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一；通过数学文化中的“借助几何直观进行思考”的典型案例，有助于发展学生的几何直观；有效的培养几何直观的工作需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学课程教学内容，落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。[2]

许多一线教研人员、数学教师结合自身教学经验提出了相关看法，如蔡宏圣提出，低年级可以让学生在教师示范下被动感受几何直观的价值，中高年级可以让学生充分经历、积极参与几何直观过程；进行有目的有计划的显性学习，同时构建良好的可以感受几何直观的课程氛围；重视让学生经历独立尝试、交流共享、碰撞完善的过程[15]。在数学教学中，应在内容安排、培养目标、实验教学的组织实施、具体教学手段如几何画板等现代信息技术、形象化教学语言与典型常见模型如长方体等直观教具的运用等方面加以重视[25-27]。几何直观应渗透在不同知识领域的教学环节中，开发可以培养学生图形直观意识的课程材料，注意尊重学生的个性化“独特”图形等[28]。

五、几何直观研究展望

几何直观的研究在新世纪如雨后春笋不断涌现，许多内容得到了深入探讨和有效交流，但某些方面的研究缺失也是十分明显的，这需要数学教育研究者和中小学数学教师的协同努力加以弥补。

(一)增加针对中小学的实证研究

几何直观研究在我国数学教育界散见于一些学者的论述中，还是一个十分新颖的课题，缺乏系统化的深入研究。目前国内文章大多为理论定性分析，实践定量分析很少。笔者认为，以下课题值得开展实证研究：各学段几何直观发展水平与数学成绩的相关性；各年龄层次男女生几何直观水平的差异性；文化背景和生活经验与几何直观发展的相关性；数学知识表征方式与几何直观发展的相关性；数学学习或认知风格与几何直观发展的相关性；几何直观能力与相关学科学习的相关性等。

(二)建立几何直观的分层评估量表

《标准》中在第二、三学段“学段目标”中的“数学思考”部分分别提出“感受几何直观的作用”“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”。两个学段的要求显然是有层次差异的，但如何区分这种差异需要更进一步地明确表述。“感受”“经历”“建立”均是描述过程目标的行为动词，在目前的中小学教学评价机制下，很可能直接要求衡量这些行为动词实施后达到的结果。如果无法衡量，那对几何直观的要求又可能停留于纸面上而为教师忽略。因此，在实证性量化研究基础之上，建立较为具体的几何直观分层评估量表就成为了几何直观研究的题中应有之义。

有研究者在这方面作了初步探索，基于范·希尔的几何思维水平划分等研究将中学生的几何直观能力划分为五个层级[11]。但这种划分的主观思辨色彩浓厚，与已有的个别实证研究结论也不尽符合。小学生具有直观的先天禀赋，这是教学中开展几何直观活动的基础[15]。但这种“先天禀赋”需要进行相对准确的衡量，以了解学生几何直观发展水平，实施更有针对性的教学，同时对于学生几何直观方面的不足也可以及早发现加以补救。但在当前我国的几何直观研究领域，还没有较为正式的和认同程度较高的几何直观评估量表。缺少恰当的评估量表，开展几何直观水平测查只能是一句空话。因此，根据我国基础数学教育现状，在获取大样本动态化连续性“面板数据(Panel Data)”[29]基础上，按照学段确定信度和效度较高的分层几何直观评估量表，应是目前几何直观研究的核心内容之一。

(三)开辟几何直观培养的新途径

对几何直观的理解不能过于狭义，仅仅局限在几何课程内部作图解题。《标准》中所言几何直观利用图形描述和分析问题，并没有限制问题是几何问题。对几何直观的理解应包括“实际世界经过运用具体直观后的数学化”[30]，这一点对于整个中小学数学教学尤为重要。比如，函数单调性教学就可以结合学生上学、放学走过的上坡、下坡的道路，实现对函数单调性的整体理解及其作为局部性概念的初步感性直观认识，再进行抽象化的认识和符号化的表达。

几何直观的培养是一个潜移默化、逐渐渗透过程，需要课堂内外、学校和家庭的协同努力。对几何直观的培养策略应该延伸到课堂之外，力求探索一些在日常生活中培养几何直观的方法。比如，针对低年级学生，数学教师可以积极争取家长配合，与家长交流在日常生活中培养孩子几何直观的具体方法，让家庭教育配合学校教育共同促进孩子几何直观的发展。再如，对于高年级学生，教师可以挖掘数学发展史中典型案例和具有发展、促进几何直观能力的研究性学习课题，将其作为实践探究任务布置给高年级学生，从而寓几何直观教育于课外活动之中。

(四)开展关于教师几何直观的MPCK研究

由于长期的教学经验和固有的教学惯性使然，中小学教师往往对《标准》提出的新核心概念十分关注又困惑不解，尤其是像几何直观这样看似司空见惯却又不易捉摸的概念。比如，教师往往关心数学教材中承载几何直观能力培养的具体内容有哪些？对于具体内容如何进行教学才是准确呈现了几何直观的过程与方法？几何直观与数形结合等熟知的数学思想方法之间有什么关系？几何直观与逻辑推理之间有什么样的关系？强调几何直观与追求数学的严谨性之间是不是有些矛盾？等等。

可能部分教师对于前述问题也有一些个人想法，但仅靠教师自己“摸着石头过河”或由专家进行单向的理论灌输可能无法彻底将其澄清，必须在对不同类型如新手、熟手、专家教师有关几何直观的MPCK知识进行深入研究、刻画基础上，总结梳理教师关于几何直观的已有知识、经验、体悟，从中发现普遍规律与特殊属性，这样也有利于发现数学教师在教学实践中可以应用的内容。基于此，即可设计相应的典型教学案例，应用于“国培”“省培”等各级教师培训中，引导教师开展有针对性和实效性的研讨分析，提升对几何直观的理解和认识。

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(责任编辑：赵 峰)

Summary of the Research on Geometric Intuition in China

SU Jian-wei1, Li Peng2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou 571158, China; 2.Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou 516007, China)

"Geometric intuition" is one of the core concepts of the 2011 "standard". Since the new century, the domestic research on geometric intuition has been quite fruitful, involving many aspects. To classify the related research literatures, the research found that: the research on geometric intuition is mainly focused on the formation and development, the connotation, the discrimination of the related concepts, the value of education and teaching, the training strategy and so on. Further research should pay attention to the following four aspects: the increase in the empirical research of primary and secondary schools; establish a geometric intuitive hierarchical assessment scale; open up a new approach to the cultivation of geometric intuition; MPCK research on Teachers' geometric intuition.

geometric intuition；connotation；formation； development；training strategy

2016-09-16 作者简介：1.苏建伟，男，汉族，山东兖州人。硕士。海南师范大学数学与统计学院副教授。主要研究方向：数学课程与教学论；2.李鹏，男，汉族，山东枣庄人。教育学博士。惠州学院数学系副教授。主要研究方向：数学课程与教学论。 基金项目：2013年广东省教育科研“十二五”规划项目“教师教学行为与教学价值取向适切性研究”(编号：2013JK169)成果之一。

O186

A

1009-9743(2017)01-0144-07

10.13803/j.cnki.issn1009-9743.2017.01.029