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求生活中的概率

文/陈清华

责任编辑：王二喜

生活中的概率问题是中考命题的重点.下面以2016年中考题为例，谈谈这类问题的解法.

一、用公式P（A）=求概率

例1（2016年广州卷）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了设的密码最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（）

温馨小提示：如果一个事件有n种可能，而这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=.公式法是求概率最常用的一种方法.

解析：∵共有10个数字，一次能打开密码锁的只有1种情况，

二、用频率估计概率

例2（2016年北京卷）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：

移植的棵数n成活的棵数m成活的频率m n 1000 865 0.865 1500 1356 0.904 2500 2220 0.888 4000 3500 0.875 8000 7056 0.882 15 000 13 170 0.878 20 000 17 580 0.879 30 000 26 430 0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为．

解析：对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，经常采用多批次求平均数的方法确定概率．

∴这种幼树移植成活率的概率约为0.882．

温馨小提示：大量反复试验下，某个事件的频率会稳定在某个常数附近（像本题，当这个常数难以确定时，可以用平均数代替），这个常数就是该事件的概率.值得注意的是，这个常数附近的数都可以作为该事件的概率.如本题的概率写成0.880，0.881，0.883都是可以的.

三、用“P（A）＝”求与面积有关的概率

例3（2016年葫芦岛卷）如图1，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，蚁MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为．

解析：求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，这个比值就是所要求的概率.可以证明

图1

温馨小提示：与几何有关的概率问题，是近年中考的常见题型.一般用图形的面积比求几何型概率.

四、画树状图求概率

例4（2016年包头卷）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．

（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）

（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）

解：（1）设袋子中白球有x个，

经检验，x=2是原分式方程的解，

∴袋子中白球有2个.

（2）树状图如图2所示.

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的有5种情况，

图2

温馨小提示：一般地，涉及两步的随机事件，可用列表法或画树状图法求概率，涉及三步或三步以上的随机事件，通常用画树状图法求概率.在利用列表法、画树状图法求概率时，各种情况出现的可能性必须相等，否则会出错．另外，要注意是放回实验还是不放回实验，它们是完全不同的事件.

五、用列表法求概率

例5（2016年营口卷）图3是一个转盘，转盘被平均分成4等份，4个扇形分别标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等（若指针恰好落在分界线上则重转）．

（1）标有“1”的扇形至少绕圆心旋转度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；

（2）现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢（赢的一方先看）．游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．

解：（1）转盘被平均分成4等份，每份的圆心角是90°，

∴标有“1”的扇形至少绕圆心旋转90度才能与标有“4”的扇形的起始位置重合.填90.

（2）根据题意列表如下：

图3

1 2 3 4 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）

由表可知共有16种，其中数字之积为偶数的有12种，奇数的有4种，则数字之积为偶数的概率是，数字之积为奇数的概率是

因为两者获胜的概率不同，因此游戏不公平.

温馨小提示：判断游戏是否公平，需计算出各方获胜的概率.若获胜的概率相等，则游戏公平.否则，谁获胜的概率大，对谁就有利.修改规则时，只需设计各方获胜的概率相同.