黄旭东

考纲要求，理解由量词构成的全称命题与特称命题的定义，掌握常见命题的否定及含有一个量词的命题的否定. 高考常见题型为全称命题与特称命题的否定及利用命题否定结合化归思想进行求参，或对一些涉及否定性的命题与一些较难直接证明的命题利用命题的否定进行反证.

涉及量词的全称命题与特称命题的判断

例1 下列词句，其中全称命题有_________；特称命题有___________（写出所有符合的命题序号）

①所有炎黄子孙都怀揣“中国梦”.

②凡是“适龄”儿童都要接受九年义务教育.

③至少有一个整数[x0，]使[lnx0>0].

④[?x∈R， ax>0（a>0且a≠1）].

⑤存在一个向量方向不定.

⑥方程[x2+x+1=0]无解.

⑦惊涛拍岸，滚滚长江东逝水的古老长江是多么雄伟壮观呀！

⑧有一个对角线互相垂直的四边形不是菱形.

解析 全称命题有①②④⑥. 含有全称量词的命题称为全称命题. ①中含有“所有”，②中含有“凡是”， ④中含有“任意”，这几个都为全称量词，故命题为全称命题. 而⑥中省略了全称量词，可化为“[?x∈R，]方程[x2+x+1=0]无解”，故命题也为全称命题. 特称命题有③⑤⑧. 含有存在量词的命题称为特称命题. ③中含有“至少”，⑤中含有“存在”，⑧中含有“有”，這几个都是存在量词，故命题为特称命题. 而⑦为感叹句，不是命题.

答案 ①②④⑥ ③⑤⑧

点评 全称命题与特称命题的判别，需掌握以下要求：含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题；全称量词主要有“所有”“凡是”“任意”“一切”等，存在量词主要有“存在”“至少”“有些”“某些”“有”等.

命题的否定

1. 不含量词的命题的否定

例2 下列说法，正确的序号为______.

①命题“若[x2-x-2=0，]则[x=2， 或x=-1]”的否定为“若[x2-x-2=0，] 则[x≠2， 或x≠-1]”.

②命题“若[a2+b2+c2=0，则a=0，b=0，c=0]” 的否定为“若[a2+b2+c2=0，][则a≠0，b≠0，c≠0]”.

③命题“若[ab=0，则a=0，或b=0]”的否定为“若[ab≠0，则a≠0且b≠0].

④命题“若[x∈A，且x∈B，则x∈A?B]”的否定为“若[x∈A，且x∈B，则x?A?B]”.

解析 ①不正确，注意“或”的否定为“且”，其否定应为“若[x2-x-2=0，]则[x≠2， 且x≠-1]”. ②不正确，注意此题实际上省略了“且”，故否定时应变为“或”，其否定应为“若[a2+b2+c2=0，则a≠0， 或b≠0， 或c≠0]”. ③不正确，此错误将“命题的否定”与“否命题”混淆，命题否定只否定结论，而否命题条件与结论都应进行否定，应为“若[ab=0， 则a≠0， 且b≠0]”. ④正确，符合命题的否定的定义.

答案 ④

点评 对不含量词的命题的否定，应掌握以下几点. （1）注意“命题的否定”与“否命题”的区别，命题的否定只否定结论，而否命题对条件与结论都应进行否定. （2）注意一些常见词的否定词，其中重点注意：“都是”的否定为“不都是”，不应错为“都不是”；“或”否定应为“且”，“且”的否定应为“或”，不应在改写否定时产生“遗忘”而漏改或认为没有必要改.

2. 含一个量词的命题的否定

例3 命题“[?x∈R，?n∈N*]，使得[x2≤n≤ex]”的否定形式是（ ）

A. [?x∈R，?n∈N*]，使得[nex]

B. [?x∈R，?n∈N*]，使得[nex]

C. [?x∈R，?n∈N*]，使得[ex

D. [?x∈R，?n∈N*]，使得[nex]

解析 将“?”改成“?”， “?”改成“?”，“[x2≤n≤ex]”其等价于“[x2≤n， 且n≤ex]”，则其否定为“[nex]”，则[?p：][.?x∈R，?n∈N*]，使得[nex].

答案 D

点评 对含有量词的命题进行否定，需注意：（1）全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题. （2）改写时，按两个步骤进行：①将存在（全称）量词改写成全称（存在）量词；②将结论加以否定.

不易直接解决的或一些否定性命题的问题

例4 （1）反证法的实质为先假设原命题[p]的否定[?p]成立，再通过逻辑推理推出与已知条件或定理或公理矛盾，从而得出原命题成立的一种证明方法. 在用反证法证明命题“三角形三内角至少有一个不大于[60°]”时，应先假设（ ）

A. 三个内角都不大于[60°]

B. 三个内角都大于[60°]

C. 三个内角至多有一个大于[60°]

D. 三个内角至多有两个大于[60°]

（2）已知函数[f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），]若[?x1∈-1，2，?x2∈-1，2]，使得[f（x1）≠g（x2），]则实数[a]的取值范围是（ ）

A. [0，12] B. [12，3]

C. [0，3] D. [3，+∞]

解析 （1）由反证法定义知，先反设其结论成立，即[?p]成立，此命题为特称命题，其否定为全称命题. “至少有一个”的否定为“都”，“不大于”的否定为“大于”，故先假设成立的命题为“三个内角都大于[60°]”.

（2）由于原命题[p]为否定性命题，直接求解较麻烦，考虑“正难则反”，先求[?p]，变成肯定性命题，解决后再求其补集即可. [?p]命题为“函数[f（x）=x2-2x，][g（x）=ax+2（a>0），]若[?x1∈-1，2，?x2∈-1，2]，使得[f（x1）=g（x2）”].

由题意知，[?p]命题等价于“[?x1∈-1，2，][?x2∈-1，2， 方程f（x1）=g（x2）]恒成立”.

设[f（x）在-1，2上的值域为A，g（x）]在[x∈-1，2]上的值域为[B]，

则[?p]命题又等价于“[x∈-1，2]时，[f（x）]的值域[A]是[g（x）]的值域[B]的子集”.

因为[f（x）=x2-2x=x-12-1，x∈-1，2]，

则[A=f（x）|-1≤f（x）≤3].

又[a>0]，故函数[g（x）]为增函数.

则[B=g（x）|2-a≤g（x）≤2+2a].

又[A?B]，则[2-a≤-1，2+2a≥3.]解得，[3≤a].

故原命题[p]成立，则[a∈0，3].

答案 （1）B （2）C

点评 遇到一些不易直接解决的问题或涉及否定性命题时，可考虑“正难则反”的方法，即将原命题进行否定，先解决[?p]，再由[p与?p]的真假相反的性质，得到我们所需要的结论. 一般有两种类型：①涉及不易直接解决的或否定性的证明题，考虑反证法，即先设其命题否定为真，最后推出矛盾，从而得出原命题结论成立；②涉及不易直接解决的或否定性的含参范围问题，可先求[?p]命题的参数范围[A]，则原命题[p]范围即为[A]的补集.