●汪正文 (丹阳市教师发展中心 江苏丹阳 212300)

破解导数零点难求问题的道与术

●汪正文 (丹阳市教师发展中心 江苏丹阳 212300)

导数作为衔接初等数学与高等代数的纽带,是研究函数性质、培养学生探究能力的重要工具,更是历年高考的难点和热点,而导数零点的求解是研究函数性质的前提.文章通过对近几年数学高考导数零点问题的深入探究,给出了导数零点中难求问题的破解之道.

零点;设而不求;等价转化

在近几年的数学高考中,函数与导数备受命题专家的青睐,且多以压轴题的形式出现,主要通过导数研究函数的性质求解,但求导后,导函数形式往往呈现超越式或高次形式,出现导数零点求不出或符号难以判定的情况,从而使问题的求解陷入困境.笔者试图以高考题为例探讨破解导数零点难求问题的道与术.

1 特值验根，证明唯一

导函数存在零点,但令导函数为0后,出现了超越方程,若直接求解比较困难,则可先用特殊值试探出导函数方程的一个根,再通过二次求导研究其单调性,并证明其是唯一的,从而使问题得解.

1)求直线l的方程；

2)证明：除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.

(2013年北京市数学高考理科试题第18题)

1)直线l的方程为y=x-1，过程略.

因此，除切点之外,曲线C在直线l的下方.

点评 在第2)小题中,令g′(x)=0,得φ(x)=0是超越方程,零点不易求解,但通过观察可知x=1是其零点,再对φ(x)二次求导,知φ′(x)为正,即g(x)为单调函数,说明x=1是g′(x)的唯一零点,从而求出g(x)的最小值.一般地,当导数式含有lnx时,可试根x=1或x=e；……