●张文杰(鄞州区同济中学 浙江宁波 315175)

从学与教的动态平衡中剥离出概念课的四大要素

●张文杰(鄞州区同济中学 浙江宁波 315175)

在课堂上，学与教是主客关系，理解学生的现有水平和潜在水平，是教学中的核心问题.在概念教学中，文章通过概念引入、生成、形成、延伸的分类分析，阐述从学与教的动态平衡中剥离出概念课的四大要素，从而把握师生间的对话交流，促进学生潜在水平的达成，提升其数学学科素养和文化品味.

知识；经验；引入；类比；能力

概念课是新知识的起点，其中的定义生成、确定、再应用是整块内容至关重要的部分.“数学概念反映了一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是具体性和抽象性的辨证统一，具有很强的系统性[1].因此笔者认为在概念课的教学中学科知识与主观经验的冲突尤为强烈，需要我们精心设计.笔者从“等差数列第一课时”“等比数列第一课时”“等比求和第一课时”“不等关系与不等式第一课时”这4节课中的部分教学细节中剥离出概念课中的引入、生成、形成、延伸这4个方面，阐述学与教动态平衡中的要点.

1 概念引入，直抵学情

1.1 直观经验型引入

在概念教学中，概念的引入是“先锋”，是“头兵”，因此情境引入要精心设计，不能草率，尽可能从学生所熟悉、感兴趣的实例或经验入手，由浅入深，由表及里，提高学生的学习兴趣，让学生经历概念形成的过程，抓住概念的本源，才能利于学生概念的构建，也使学生对概念“回味无穷”[2].例如在等差、等比数列第一课时的教学中，课本给出了贴近生活的4个实例，提取其中的数列，让学生发现其共同特征，然后总结归纳出等差数列的定义.而在“不等关系与不等式第一课时”的教学中更是提取了大量生活中的不等关系让学生抽象转换为数学中的不等式，以期培养学生的抽象概括能力.像这样由直观经验引入的方式比较常见，往往能培养学生的观察、发现、探索、抽象归纳等能力.

1.2 知识类比型引入

类比引入往往要依托于类似的定义，藉由已有的数学知识去类比获取相似的知识，因此机会难得.例如，在等比数列定义的引入时是否可以不给任何实例，让学生自己联想：有了等差数列这样的特殊数列，还可以有怎样的数列呢？于是学生可能会提出“等和”“等积”“等商”等数列，然后让学生自己提出具有等比数列特征的例子.这样就开发了学生的另一种能力——类比产生概念.让学生基于已有的知识和经验，探讨有思维价值的数学问题，学生就会主动投入到建构新数学知识的活动中去.

1.3 知识文化型引入

任何一门学科都有其自身的文化底蕴，数学文化更是如此.而数学文化也可以看成是一部数学的发展史，其中的问题产生到破解就是一种很好的引入方式，如复数的引入.因此我们可以藉由数学本身的文化去引入一些知识.笔者在“不等关系与不等式”这节课中就采用了这样的引入方式：课本中提及不等关系常反映在大小、长短、重量中，各学案中的例子也比较杂乱，笔者将其整理为点(点的比较，从而产生个数、数量的不等)——一维(线段上都有无数个点，不可比，那么比较其长度，从而产生长度、温度等的不等)——二维(同样长度的纸片有不同的宽度，从而产生纵向、大小、面积的不等)——三维(长宽一样的书本厚薄不一，从而产生体积的不等)——物理(同容积的泡沫箱和铁箱在重量上是不等的，从而产生同体积不同重量；物理中的质量不等，从而产生速度、密度不等)——经济(要在经济上谋求利益，最关心的是售价——课本问题2；成本——课本问题3).如此显得环环相扣，不断提出点至一维至二维至三维至物理至经济的变化，激发学生的兴趣，同时把不等关系的产生原理置于其中，也体现了一定的数学文化和社会背景.

2 概念生成，遵循思维

2.1 质疑型生成

人的思维总是把共性的事或现象进行分析比较，揭示它们的规律，这就是思维的概括.但是共性只有在有反例的情况下才能更好地彰显其特性.因此笔者认为在生成过程中需加入干扰因素，且在教学中应让学生自己辨析，在过程中产生质疑并进一步完善.如在等差定义中“为什么不叫等和”“为什么要从第2项起”“为什么不是前一项减后一项”“为什么要强调每个、同一个常数”等都是重要的思想生成.在有必要的情况下甚至可以采取小组讨论.为了保证这些生成，笔者也尝试作了一些调整:1)既然要提取相同的特征，那么也需要不同的对比，因此在前面的例子中就应放入非等差的数列,这样比在后边的定义辨析中放入更加自然；2)在引入的例子中最好放入常数数列，增强学生的辨析度，类似的例子中有关递增性与递减性的例子应至少1个，同时数列a,a,a,a,a…(其中a为常数)也有一定的辨析意义.

2.2 实践型生成

通过学生的自我实践，发现过程中存在的问题，这是一种很好的学习途径.笔者有幸参加了一次区教研室组织的带徒活动，3位年轻教师执教了“等比数列前n项和”都是借用了实例抽象出S30=1+2+22+…+229，但其后无一让学生自己尝试发现.究其原因是教师认为所教学生为中等水平学生，怕学生得不到其方法.但笔者认为无论学情如何，都应该让学生尝试，这是学生锻炼发现、探索思维的绝好时机.只要学生稍微进行一些操作就有可圈可点之处，而教师跟随学生的方法稍作提点即可达到很好的效果.因此教师一定要给予学生充分的实践体验.

2.3 变通型生成

图1

3 概念形成，呈现本质

3.1 要点

3.2 引申

3.3 理念

每个教师对学科知识有不同的认知，风格也不一，因此教师应将自己的理解介绍给学生，让学生产生共鸣或产生疑问，将会有不错的效果.

例如笔者在讲解等差中项时就常提及等差中项即为平均数，联系到图像就是中点.在等差数列的教学中常强调平均数、中间数、统一这类词.

再如不等与等的关系:在“不等关系与不等式”教学中我们应该有一个理念：那就是不等与等的统一性，不等是为了追求等，而等中又要追求其差异性，因此等与不等是辩证统一的.经济上的一些不等结果就是为了寻找临界点、关键点,而这些点正是相等之时;解一元二次不等式也是借助了一元二次方程的根，一元二次函数等于0时的关键点.北京大学张顺燕教授曾精辟地指出：数学教学有3种境界，即“授人以业”“授人以法”“授人以道”.在这里，从传授知识的角度来看应理解为“授人以业”要求所授知识“准确”，“授人以法”要求所受知识“深刻”，“授人以道”要求所授知识“本质”，高境界的数学教学要基于思维发展，呈现数学本质[3].因此，我们在教学中应适时地加入一些自我数学理念，这也正是在呈现数学的本质.

4 概念延伸，理解思想

4.1 知识型延伸

对于一个新知识、新定义，既要找到它的前延，又要让其续用.例如，数列是一个特殊的函数，是函数图像中一些孤立的点.通过图像可以发现：等差数列是一次函数图像上的点；等比数列是类指数函数图像上的点,这是它们的前延.而当我们有了定义后，就可以用定义法来证明一次型数列an=pn+q即为等差数列；类指数型数列bn=p·qn(其中p≠0,q≠0)即为等比数列,这就是它们的续用.有了这样的思想和体验，学生对知识的理解会更加深刻.

4.2 经验型延伸

一个数学概念的背后往往蕴含着丰富的数学思想，有的数学概念本质上就是一种数学观念，是一种分析、处理问题的数学方法.重视概念的自然生成可以使学生对原有知识、技能进行再认识、再加工，进一步深化提高，把头脑中已有的认知能力调动起来，积极参与到新的学习活动中，加深对新知识的理解和认识[4].我们必须重视过程中的方法性和经验性的铺垫，或许有时在当堂课中无法体现，但在后边的教学中会得到多次呼应.例如错位相减法思想在裂项相消中再次出现:我们知道错位相减法是利用了等比数列求和中的整体消除、抵消的思想.那么裂项相消呢，其实质是错位相减的再应用，如

实则可看成

错位移动2个位子，中间抵消，前后各留2项.

5 小结

最后谈谈笔者对概念课的一些想法：其实对于许多概念课，学生自己看书也能完成任务，得到概念与定义;那么换作授课，教师则需关注其中更多的思维能力，设置好必要的学习框架，给予适量的自我实践空间，平衡好教师的讲与学生的练，起到引导性、开发性作用;在教师的引导下去实践发现，感悟其中的经验教训，在教师的提点下再次升华，继而让知识在应用中得到延续;而教师在教学中应尽可能地授生以法，更授生以道.

[1] 廉万朝.高中概念课教学中“问题导学”的案例研究[J].中学数学，2016,(3)：28-30.

[2] 倪科技.从“三角函数的周期性”教学谈高中数学概念的引入[J].中学数学教学参考：上旬,2015(11):25-26.

[3] 尤善培.基于思维发展设计教学路径——再谈着眼于学生思维发展的数学教学设计策略[J].高中数学教与学,2016(3):35-37.

[4] 刘旭飞.关注预设 重视生成 基于对话——“函数的单调性”的教学实录与反思”[J].中学数学，2016(2):6-9.

2016-10-14；

2016-11-20作者简介：张文杰(1985-)，男，浙江宁波人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122.4

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1003-6407(2017)02-04-03