李 颖

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

几何直观相关概念和表现形式的文献综述

李 颖

(渤海大学 教育与体育学院，辽宁 锦州 121000)

《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》提出了十个核心概念，将空间与几何改成图形与几何。“几何直观”是重新修订后新加的一个核心概念，借助几何直观，可以帮助学生由图形的直观性更加形象地学习数学。几何直观是一种能力，不仅锻炼学生利用实物去解决实际问题，几何直观还可以对学生进行数学思想的渗透。

几何直观；几何直觉；空间观念；数形结合

《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《标准》)提出了十个核心概念。其中之一“几何直观”引起了广泛的重视，“几何直观”利用图形的形象性帮助学生更直观地发现问题和解决问题，帮助学生去理解数学，从而进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力。几何直观是一种能力，不仅锻炼学生利用实物去解决实际问题，几何直观还可以对学生进行数学思想的渗透。

一、几何直观的含义

《标准》中对几何直观是这样表述的，利用图形去描述分析并解决问题。几何直观利用几何图形把复杂的数学问题变得形象直观，这样便于我们去探索解决问题的思路，预测结果。当面临的问题看来比较复杂时，有时候某个适当的辅助工具就可以化繁为简，其中之一便是几何直观。几何直观像是一种通过看到的情境和图形想到的解决问题的方法，使问题简化形象的一种能力，这种能力在学生的学习、生活中是必不可少的。

几何直观主要是对学生形象思维、直觉思维的培养，对于《标准》中创新思维的培养和逻辑思维的培养同样重要，几何直观即是利用几何的图形去描述和分析问题，使问题更形象，使学生更直观地理解问题[1]。

徐利治说，几何直观是借助见到的或想到的几何图形，利用形象之间的关系产生对一些数量关系直接的感知[2]。史宁中、孔凡哲将几何直观看做通过见到的或想象出来的几何图形对数学的研究对象进行直接感知的一种能力。几何直观是通过见到的或想到的几何图形或物体的形象关系及具体的事物产生的对其性质或数量关系的直接感知，通过图形的描述、模型的展示、实物的形象特征将抽象的概念、定理用直观的思路去表达证明。希尔伯特(Hilbert)在《直观几何》中提到，图形可以帮助我们发现描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们直观形象地理解得到的结果[3]。

就像《标准》在知识与技能里提到的，在具体的情境中去理解学习数学的意义，根据具体实物和模型辨认长方形、正方形等几何体，通过一些实例了解线段射线直线等，虽然数与代数在前，图形与几何在其后，但实际上，数与代数内容相对较多，学习时间约占整个初中数学学习时间的三分之二。初中数与代数领域的知识有着符号化、抽象化且逻辑性强的特性，对于在小学阶段养成从具体活动经验中思考问题的初中生来说，一时是难以掌握的，直观的几何图形可以化解代数知识的抽象性，以便学生理解掌握。

1.几何直观与空间观念

在数学研究中有两种倾向，抽象的倾向和直观的倾向，前者是在错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，后者是通过直观的图像实物去分析解决问题，更直接地掌握所研究的对象，了解他们之间关系的具体意义。

空间观念指物体的形状、大小、位置、距离等一些形象在人脑中的映像，是空间知觉经过加工的表象，想象出所描述的实际物体及之间的位置关系以及描述图形的运动变化、依据等[1]。空间观念偏向于抽象性，从对象上来说，它不仅涉及根据几何图形想象出所描述的实际物体，还涉及由想象而出物体的方位和相互之间的位置关系以及描述图形的运动和变化等能力，这个比较抽象。几何直观更强调的是图形的直观背景，是在直观感知的基础之上[4]。

2.几何直观与几何直觉

直觉，一般是指不经过分析，不经过逻辑推理去认识事物的过程而直接快速地进行判断或者认识事物的一种能力[4]。几何直觉是学习者具有的感性认识，有猜测成分和经验感性的成分在内，比较偏向于直觉猜测，跟着直觉去解决几何问题，发现几何定理[3]。几何直观主要是通过丰富的直观几何图形、直观的模型、直观的语言等形象描述来调动学生的一切感官认识以及通过具体的实践探究活动使学生直接感知客观世界的事物、现象，从而掌握知识获得感性经验形成能力，其次它可能会与个人的经验经历有关。学习者通过图形的直观可从一个层次看到更为深刻的本质。从描述的对象来看，直观的对象一定是可以看得见的比如矩形，而直觉的对象却不一定是可以看得见的[5]。

3.几何直观和数形结合

可能会有人将几何直观和数形结合相混淆。在小学课程内容中，运用得比较多的是用“形”来解决“数”的问题，这是几何直观和数形结合的共同之处，所以不加以区分，但事实上，这两者之间还是有区别的，数形结合包括“以形助数”和“以数解形”。“以形助数”是利用“图形”的直观特点去降低“数字”的抽象度，就好比是我们遇到路程问题用线段图的方法来分析解决这类数学问题中的抽象部分。而“以数解形”是通过“数字”的精确性去准确地让“图形”充分量化。好比我们建立平面直角坐标系，用数的准确性来描述图形的变化，比如平移、旋转、求两点之间的距离之类问题。数形结合是一种双向通道，既可以由数到形，也可以由形到数。而几何直观是通过用图形描述和分析数学问题，或许可以这样地理解，几何直观就是用几何的一些图形来解决数学问题，虽然数学问题可以通过图形、数字或其他方式解决，但是如果与数形结合做个对比，那几何直观就是一个由“图形”出发的单向通道[6]。

二、几何直观的表现形式

史宁中、孔凡哲从义务教育阶段数学教学角度说明，几何直观可以分为以下四种具体表现形式：实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。冯崇和将其分为符号直观表示、实物直观表示、模型直观表示、图形直观表示。从几何直观中的几种表现形式进行详细地解释。

1.实物直观

建立在实物层面的直观即进行数学直观形象的思考，从而得到结论。如通过易拉罐来认识柱体，通过铅笔盒来认识长方体。通过实物直观地演示，把抽象的问题利用图形的直观形象将其描述得更清楚，进而引导学生去感受基本图形的特征。

2.符号直观

3.图形直观

由几何图形来描述分析数学问题，如学习乘法的分配率时，就可以用求两个拼接成的长方形用两个面积和等于大长方形面积的形式；学习圆柱的侧面积时，可以将易拉罐侧面的商标剪开来观察分析侧面的图形以及分别对应的长和宽。此处还可以借助单位圆来学习三角函数，利用数轴研究一些无理数的长度位置，借助扇形图、条形图、直方图对统计数据进行分析描述等，借助形象的几何图形来分析解决问题。

4.替代物直观

可以是一种直观图形，简约的符号实物直观或者两者合并的模型，从而去分析解决数学问题。如学习进位加减法26+9的计算时，可以借助小木棒来计算；在学习鸡兔同笼问题时，可以用“圆圈”和“腿”的形式来表示。

解决问题时，应遵循一个原则，即解决某个问题在不损害其核心的基础上尽量简化，即使是讨论最抽象的问题也绝不脱离基本的直观。总之，几何直观是用图形符号语言的直观方法分析问题，从而培养学生的几何直观能力。

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000(5).

[3]D·希尔伯特，S·康福森.直观几何(下册)[M].王联芳，译.北京：高等教育出版社，2013.

[4]孔凡哲,史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准(2011版)的一点认识[J].课程·教材·教法,2012(7).

[5]刘心怡.初三学生“几何直观”现状的调查研究[D].南京：南京师范大学，2014.

[6]顾志能.对”几何直观”概念的几点辨析[J].小学数学教与学，2012(12).

〔责任编辑：钱晓玲〕

A Literature Review on the Concepts and Forms of Geometric Visualization

LI Ying

(College of Education and Physical Education, Bohai University, Jinzhou 121000, China)

MathematicsCurriculumStandardforFull-timeCompulsoryEducation(2011Edition), it put forward ten core concepts, space and geometry into graphics and geometry. “Geometric intuition” is a new concept after re-revised one of the core concepts, with the help of geometric intuition, can help students from the visual intuition of a more vivid learning mathematics. Geometric intuition is a capability. Not only can exercise students to use physical to solve practical problems, but also for students to mathematical thinking penetration.

geometric intuition; geometric intuition; space concept; combination of number and form

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.01.037

2016-10-26

李颖(1992—)，女，辽宁锦州人，从事学科教学(数学)研究。

G633.6

1008-6714(2017)01-0079-02