周 伟

(中国舰船研究设计中心，湖北武汉 430064)

0 引 言

水声探测反潜直升机是国内外水声工作者研究的热点之一。直升机辐射噪声的频谱是连续谱与强线谱[1-2]的叠加，尤其是在低频段强线谱丰富。

目前公开发表的文献中，水听器探测直升机作用距离约为300 m[3-5]，关于该结果一般采用射线理论解释，认为由于空气水界面处存在约为13° 的透射临界角，水听器仅能接收在此临界角范围内的飞机辐射噪声。

对空气、水和海底进行三层介质空间建模，利用波动理论求解直升机激发水下声场的报道并不多见，Michael J. Buckingham曾在美国声学杂志J.A.S.A上发表过相关内容的研究[6]，他将空气、水和海底建模为三层均匀介质空间，利用波动理论推导了声场的形式解，并在此基础上做了相关的研究，包括等效深度、以及声源运动对水下声场的各种影响等内容。作者在典型浅海及飞机辐射强线谱条件下，利用“有效深度”的概念得出水中有三阶波导简正波。若有波导简正波存在，必能以较小传播损失远程传播。这与作者先前发表的文献[4-5]中利用射线理论解释实验结果有重大差别。作者没有仔细甄别这两种差别。

实际情况下，海面上空气由于温度、风等因素的影响，其声速分布并非均匀的。为进一步分析空气中声速分布对直升机激发的水下声场的影响，本文将空气中声速分布假设为 Epstein分布[7-9]，海水和海底声速分布假设为均匀分布，并利用波动方程求解声场形式解，分析了声压场及振速场的特性。

1 三层Pekeris介质模型

三层介质Pekeris介质模型如图1所示[6]，z轴向下为正，海面为平面，声源S坐标为其中，海深为H，如无特殊说明本文中指浅海，接收点R坐标为(r,z)。空气、海水和海底为均匀介质，声速和密度均为常量，分别为

图1 三层pekeris模型Fig.1 Three-layers Pekeris model

2 Epstein介质模型

空气中声速为 Epstein分布的三层介质模型如图2所示，水层和海底的建模与三层Pekeris介质模型相同。空气的密度这里同样认为是常量ρ0,下文将该模型简称为“Epstein模型”，空气中的声速建模为Epstein分布。

图2 空气中声速为Epstein分布的三层介质模型Fig.2 Three-layer medium model with Epstein sound speed distribution in air

Epstein声速分布表示式如式(1)所示。

设空气中各点密度相同，并假定声速仅与直角坐标系(x,y,z)的 坐标有关。式(1)中是描述介质的参数，其中表示海面处空气的声速，c∞表示高空空气声速，h表征空气中波导层的厚度。一般将的情况称为Epstein波导，将的情况称为Epstein反波导，而当时，空气层为均匀声速分布，此时Epstein模型与三层Pekeris介质模型相同。

图3 不同条件下的Epstein声速分布Fig.3 Epstein sound speed distributions under different conditions

所以三层Pekeris介质模型可以看做是Epstein模型的一种特例。

3 声场形式解的推导与分析

下面分析在上述两种不同模型下，空气中点源激发的声场的形式解，取时间因子为e−jωt， 表示速度势函数，在柱坐标系中频域波动方程为：

其中：ξ表示水平波数。记：为第i层介质中垂直方向波数。或称ξ为波数水平分量，βi为波数的垂直分量。

3.1 三层Pekeris介质模型下的声场解

在三层 Pekeris介质模型下，将Y(z,ξ)的通解表示为：

下脚标“P”表示三层Pekeris模型下的结果。利用边界条件如式(6)所示和点源条件如式(7)所示(边界条件与所建模型无关，故未加脚标)：

则水层和海底的速度势函数为：

其中

式中：∆P1的下脚标“1”表示与水层波导相关的结果，若令即为水层波导简正波的频散方程，下文称此类本征值对应的简正波为水波。

3.2 Epstein模型下的声场解推导

因空气中声速服从Epstein分布，如式(1)所示，声场可以表示为[7]：

其中：“F(.)”表示超几何方程，约定当ξ为实数时取Re(µ)≥0及Im(µ)≤0。当A→0时，ν=1代表均匀空间，此时有

其中：下脚标“E”表示Epstein模型下得到的结果，的定义与式(8)相同，与式(12)中的表示形式相同。

利用式(6)、(7)所示的边界条件和点源条件可得水层和海底的速度势函数为：

而对于空气中的 Epstein波导层中存在的简正波，其本征方程由朗斯基行列式为零得到[7]，即：

文中将此类本征值对应的在水中传播的波称为“水面波”，在水层中为非均匀波，在空气中为Epstein波导简正波。该类波在水层中近水面处强度大，随着深度的增加，其强度激剧减小，所以称之为“表面波”。

4 水层中两种波的分析与数值计算

对比两种不同模型下的结果，可以发现将空气中声速分布建模为 Epstein分布时，空气中点源所激发的水下声场存在水波和水面波，而三层Pekeris介质模型的结果，空气中点源所激发的远程水下声场仅含有水波，近程有侧面波。下面具体分析这两类波的特点。

4.1 水 波

由式(10)和(16)可得两种模型下水波的频散方程为

从式(23)可以看出空气中的声速分布对水波的影响不大。下面给一个具体算例。

算例1条件：海深H= 50m；影响空气中Epstein波导厚度参数h=− 50m；海水中声速为c1=1 500 m/s；密度ρ1= 1 000kg/m3；海底声速为c2= 1600m/s；密度ρ2= 1800kg/m3；空气密度ρ0= 1.25kg/m3。空气中声速与温度关系：c= 331.45+ 0.6t，t单位为℃，假设海面处空气温度为 5℃，高空中空气温度为10℃，所以有c0=334.450 0 m/s，c∞=337.450 0 m/s。声源参数zs=−8 0m，点源频率为 100 Hz，由此可得水层中存在的两阶波导简正波的本征值为：0.417 940、0.415 069。

图4为两种不同模型下，水波的前两阶波导简正波的声压归一化幅度沿垂直方向的分布对比。

图4 两种模型下水波前两阶简正波的归一化幅度在垂直方向的分布Fig.4 Normalized amplitude distributions of the first two order modes of water wave in the vertical direction under two models

从图4中可以发现，在两种不同模型下，水波的简正波振幅在深度方向分布的归一化幅度分布关系相同。

图5为当c∞=c0，其他条件与算例1相同时，水波的前两阶简正波的声压的垂直分量沿垂直方向的归一化幅度对比。

图5 两种模型下水波归一化幅度对比Fig.5 Comparison between the normalized amplitude distributions of water wave under two models

从图中可以看出两种不同模型得到的结果完全一致，说明三层 Pekeris介质模型是本文所建的Epstein模型的一种特例。

4.2 水面波

式(21)给出了水面波本征值的计算方法，下面给出一个具体的算例结果。数值计算条件与算例 1相同。当频率为20 Hz时，在空气层中共有5阶Epstein波导简正波，本征值依次为：0.374 640、0.372 983、0.372 877、0.372 393、0.374 431，故在水层中存在5阶相应的水面波。图6为前两阶水面波的声压，在水层中的归一化幅度与深度的关系图，这里以第一阶水面波在水中幅度最大值为参考。

图6 前两阶水面波的归一化幅度在垂直方向的分布Fig.6 Normalized amplitude distributions of the first two orders of surface water wave

从图6中可以看出空气中点源激发的水面波是一种非均匀波，随着深度的增加强度逐渐减小，而且随着频率的升高衰减速度将加快。

4.3 传播损失数值计算

下面给出的数值计算结果的条件与算例1中相同，图7(a)、7(b)为三层Pekeris介质模型和Epstein模型下声压传播损失的计算结果，接收深度分别为1 m、15 m和25 m，以声源正下方1 m处的声强为参考。

由图7可以看出，当接收深度较深时，两种模型下的传播损失基本相同,而在近海面处两种不同模型下的传播损失差别较大，这说明了此时水面波起到了主要作用。

图7 两种不同模型下不同接收深度声压传播损失对比Fig.7 Comparison of transmission loss at different depths undertwo models

图8 Epstein模型下，假定空气中声速为均匀分布时不同接收深度传播损失对比Fig.8 Comparison of transmission loss at different depths under the Epstein model with a uniform sound velocity distribution in air

图8为Epstein模型下，假设空气中声速分布为均匀分布时，声压在不同接收深度的传播损失，以声源正下方1 m处声强为参考。

将图8的结果与图7(b)对比可以发现，两者的传播损失相同，进一步证明了，三层Pekeris介质模型是Epstein模型的一种特例。

5 结 论

本文对空气、水和海底三层介质进行了建模，将空气中声速分布假定为 Epstein分布，水层和海底假定为均匀分布，并经推导得出了声场的声压形式解。与文献中的三层Pekeris介质模型结果相比，本文所得结果分析了空气中声速分布对空气中声源激发水下声场的影响，即存在水面波。而三层Pekeris介质模型的结果是本文所得结果的一种特例，用数值计算的方法对其进行了验证。

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