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利用同构特点巧解数学问题

2017-01-20李铠辰

考试周刊 2017年1期
关键词:增函数同构化简

李铠辰

在求解函数与方程的问题中,往往会出现一些除变量外完全相同的结构式,解题时若能利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,深刻分析、正确思维和丰富联想,使之简单明了,起到化简、转化和桥梁作用,从而找到解决问题的思路、方法.这体现了数学中发现、类比、化归等思想,渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法,是一种富有创造性的解决问题的方法.本文列举函数、不等式、数列中的常见问题解析如下.

题型一:利用同构特点解决方程问题

在方程中的应用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征,则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.

例1.若函数f(x)=+m在区间[a,b]上的值域为[,](b>a≥1),则实数m的取值范围是?

【解析】∵f(x)为增函数∴f(a)=,f(b)=-?圯+m=+m=

∴a,b为方程+m=在[1,+∞)上的两个根,即m=-有两个不同的根,

令t=(t≥0)?圯x=t+1,

所以方程变形为:m=(t+1)-t=(t-2t+1),结合图像可得:m∈(0,].

【点评】注意到f(x)是增函数,从而得到f(a)=,f(b)=,即+m=+m=,发现两个式子为a,b的同构式,进而将同构式视为一个方程,而a,b为该方程的两个根,m的取值只需要保证方程有两根即可.

题型二:利用同构特点解决不等式问题

在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.

例2.已知函数φ(x)=,a为正常数,若g(x)=lnx+φ(x),且对任意x,x∈(0,2],x≠x,都有>-1,求a的取值范围.

【解析】g(x)=lnx+,不妨设x

g(x)-g(x)>x-x?圯g(x)+x>g(x)+x,

设h(x)=g(x)+x=lnx++x,则由h(x)>h(x)恒成立和x

只需h(x)在(0,2]单调递增即可,∴h′(x)≥0恒成立.

∵h′(x)=-+1∴-+1≥0

即a≤(x+1)+恒成立

所以只需a≤[(x+1)+]

令p(x)=(x+1)+

∴p′(x)=2(x+1)+=

∴p(x)在(0,)单调递减,在(,2)单调递增,∴p(x)=p()=

∴0

【点评】观察到已知不等式为轮换对称式,所以考虑定序以便于化简,令x>x,则不等式变形为g(x)-g(x)>x-x,将相同变量放置一侧,可发现左右具备同构特点,所以将相同结构视为函数h(x)=g(x)+x,从而由x>x且h(x)>h(x)可知只需h(x)为增函数即可.从而只需不等式h′(x)≥0恒成立即可,求出a的范围.

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