吴锋　钟万勰

摘要：

研究水波位移法中势能的正定性问题.将水的不可压缩条件用于重力势能，得到具有正定性的势能；通过数值算例比较水波正定势能和非正定势能对计算结果的影响.由数值实验结果可知：对于非正定势能，数值离散后容易出现负的特征值，而取正定势能时则不会.负的特征值意味着数值发散，结果不符合物理实际，应当避免.

关键词：

水波位移法； 不可压缩条件； 正定势能

中图分类号： O313.7

文献标志码： A

Abstract：

The positive definite property of the potential energy in water wave displacement method is studied. The water incompressible condition is substituted to the gravitational potential energy to produce positive definite potential energy. Some numerical tests are used to investigate the effect of positive and nonpositive definite energy on calculation results. The numerical test results show that， the nonpositive definite potential energy may results in negative eigenvalues which violate the physical law. However， the positive definite potential energy can exclude the negative eigenvalues.

Key words：

water wave displacement method； incompressible condition； positive definite potential energy

0引言

对水波的数值模拟，常规做法是在Euler坐标下进行的.[13]然而，在Euler坐标下，当涉及到自由表面等动边界问题时，存在数值困难.[47]因此，近年来基于Lagrange坐标的水波位移法逐渐得到重视和发展.其实早在1788年，LAGRANGE[8]在其经典名著《Analytical mechanics》中就已经讨论水波基于位移的约束作用量和约束变分原理，然而该论述迟迟没有得到重视，基于位移的水波模拟计算也没有很好地发展.1998年，MORRISON[9]在国际顶尖期刊Reviews of Modern Physics上发表的Hamiltonian deocription of the ideal fluid中，在介绍水波基于位移的变分原理时，仍然认为位移等Lagrangian变量（或称为物质变量）对于读者而言是新鲜事物，故特意强调.

2006年以来，钟万勰等将Lagrange坐标与Hamilton理论相结合研究浅水波问题.[1014]他们建立以位移表示的动能、势能、Lagrange函数和Hamilton变分原理，并进而导出基于位移的浅水波方程（Shallow Water Equation based on Displacement， SWED），同时研究SWED的数值求解格式，对作用量在时间和空间上同时进行有限元离散，然后通过最小作用量变分原理，导出保辛的离散积分格式，在长时间仿真计算中可以很好地保守能量，并将之用于三峡升船机水箱的研究中.考虑到算法的守恒性以及对动边界、自由面的处理是目前计算水波动力学中的两个难题，而在Hamilton体系下结合Lagrange坐标研究水波的非线性演化，既可以准确地处理自由面和动边界，又可以充分利用保辛算法守恒性好、无人为耗散的优点，值得进一步研究和发展.

当涉及到深水波计算时，考虑到水的不可压缩条件，需要建立水波的约束变分原理.虽然LAGRANGE[8]已经讨论过不可压缩水波的约束作用量和约束变分原理，但该作用量中的势能并不具备正定性.如果基于此不正定的势能进行数值离散，则不能保证离散的Hamilton函数的正定性.著作《力功能辛——离散：祖冲之方法论》 [15]指出：“Hamilton函数为正定.……，在物理上说，振动不会随时间衰减，而是不断重复.”这表明如果数值离散时不能保证Hamilton函数的正定性，会导致振动随时间衰减或者放大，而非不断重复，这与物理实际不吻合.在Lagrange坐标下研究水波数值模拟时，Hamilton函数由势能和动能组成，其中动能天然具有正定性，因此势能的正定性对于模拟的正确性至关重要.本文讨论势能正定性对水波位移法数值模拟的影响，分别导出具有非正定势能和正定势能的2种约束作用量，接着通过数值算例，观察两者的数值表现，验证正定势能的必要性.

1矩形水池的约束作用量

首先，

分析深为H、长为L的矩形水池，见图1，其中虚线是变形后的水面，实线表示水面静止时的形状.静止时水中各个质点的坐标为（x，z）.初始时刻水面静止，t时刻的位移分别为u（x，z，t）和w（x，z，t）.

分别采用非正定势能和正定势能2种不同作用量计算，采用有限元对作用量进行空间离散，单元分别选取表1中的单元进行组合，算例则标记为UiWjPk.例如，假设水平位移取2号单元近似，竖向位移取3号单元近似，而压强取1号单元近似，则该算例记为U2W3P4.在选取单元组合时，要求压强单元的节点数少于或等于位移单元的节点数.计算结果分别见表2～4.

比较表2～4可知：当采用非正定势能时，需要建立恰当的位移与压强的离散格式.如果位移与压强的离散不恰当，会出现负的特征值，这意味着在水波演化模拟时，计算会发散；而采用具有正定势能的作用量计算时，由于势能的正定性得到保证，不会出现负特征值.

4结论

水波计算分析是实用的重要课题，本文研究走的是与以往完全不同的道路，运用Lagrange坐标的位移法，其数值离散是在变分原理控制下的.对于作用量，本文关注Hamilton函数的正定性，尤其是正定势能的重要性.本文通过数值算例，比较水波正定势能与非正定势能的数值表现，指出当水波非正定时，数值离散后容易出现负的特征值，而取正定势能时则不会.负的特征值意味着数值发散，结果不符合物理实际，应当避免.

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（编辑武晓英）