张 学 茂

(泰州学院数理学院,江苏 泰州 225300)

R积分理论及其应用性研究

张 学 茂

(泰州学院数理学院,江苏 泰州 225300)

目的 帮助学生理解R积分理论知识性、结构性、思维性、应用技巧性，领悟R积分理论的内涵及其应用，提高学生整体归纳、创新应用能力。方法 以定积分(一元、二重、三重积分)、曲线积分(第一类型、第二类型)、曲面积分(第一类型、第二类型)为研究对象，从概念的本质溯源、内在结构分析、思想方法剖析、典型应用例举等方面进行研究。结果 R积分的本质为和式极限，可从形式上进行统一；得到了R积分的内在结构框图、四大公式转化的限制条件；给出微元法中微元选择标准与依据；典型应用中采用相应的独特方法。结论 针对R积分呈现定义多、内容抽象、形式各异、方法独特等特征，提出从整体的高度理解其概念本质，分析各类积分间的联系以及内在的转化方法，与实际应用相结合，促进学生更好地理解R积分的内涵，加强对整个理论体系的深入理解与内化。

R积分;概念;结构;思想;应用

R积分理论是数学分析课程中极其重要的内容，是学习实变函数、复变函数、泛函分析、概率论与数理统计等课程的基础，对学生思维方式的培养起着至关重要的作用[1]。从内容而言，R积分包含一元积分、多元定积分、线积分、面积分等诸多内容；从学习时间跨度而言，R积分贯穿数学分析课程全部学习过程(一般横跨3～4个学期)；从应用而言，R积分在物理、几何、经济、机械、医学卫生、统计等方面均有着广泛的应用；从思想方法而言，R积分经历了“分割”、“近似替代”、“求和”、“取极限”的过程，蕴含着“以直代曲”、“以不变代变”等数学思想。其内涵丰富、思想深邃[2]。张景中教授提出了公理化定义法[3]和微积分的初等化[4]。关于R积分概念教学与应用性教学改革的成果不胜枚举[5-11]，这些成果有力地推动了高校基础数学的课堂教学改革,从各个侧面剖析了R积分理论的深邃内涵。但这些成果大部分集中于对一元定积分的研究。R 积分的整体性研究仅局限于形式的统一性，深层次的结构性文献较罕见。本课题组经过长期的研究，对R积分的概念本质、内在结构、思想方法、应用例举等方面进行了剖析与探究，得到了较有价值的研究成果，有利于帮助学生理解其知识性、结构性、思维性和应用技巧性，领悟R积分理论的内涵及其应用，不断提高分析问题、解决问题的能力。

1 R积分概念本质

由定义1可知：①Ω是有界闭区域，Ωi是闭连通的(可度量)；②λ(τ)→0确保分割充分细；③极限不受分割及Pi取法的影响。在这几个条件下称f(P)在Ω上R可积。结合极限的定义，可得到f(P)在Ω上R可积的充分必要条件：

从定义1和定理1可知，对应R积分的应用对象不同，即Ω为不同的可测量几何体，则有不同的相应的积分形式：

当Ω为曲线l沿x,y轴方向分解时,积分为：

当Ω为曲面S沿yOz,zOx,xOy面分解时,积分为：

对于第二类型的曲线积分、曲面积分若采用向量记号也可对其形式进行统一[6]。通过对概念的要素、表现形式进行适当分析，将有利于帮助学生对概念的内涵本质(和式极限)及外在表现形式形成整体的认识，重新构建自身新的知识与能力结构。避免因内容形式较多、定义抽象、表现方式和条件复杂而不易为学生所接受与掌握，甚至出现张冠李戴的困境。有利于学生对知识的重组与认识，进一步提升他们整理、归纳、深化加工数学概念的能力。

2 R积分内在结构

R积分呈现定义多、内容杂、形式各异等特征。仅就其外在形式而言,就有7种之多,这对初学者来说将是巨大的挑战。对于这一庞大的知识体系,若能清楚地刻画出各类积分间的联系以及它们内在的转化关系，无论是计算方法,还是变量个数变化,都将有利于学生真正领悟数学知识、计算方法与技巧，掌握其蕴含的工具性、思想性，从而不断完善思维，学会学习,养成良好的学习习惯,对树立终身性学习信念大有裨益。

图1 R积分各类积分框图

通过对R积分(各类积分)内在结构的剖析，使学生理解R积分所有的计算最终都归结于定积分的计算。只要掌握了各类积分相互转化的方法及其与定积分计算间的联系，那么R积分的计算问题就十分容易解决。同时从结构图中还应深刻理解如下2个方面的内涵:

格林公式是将沿闭区域边界线L的第二类型的曲线积分和二重积分相联系：

高斯公式是将沿空间区域V的边界线的第二类曲面积分和V上的三重积分相联系：

斯托克斯公式则是将沿闭曲面边界L的第二类型的曲线积分和封闭曲面S上的第二类型的曲面积分相联系：

当然以上四大公式的应用都是有相应具体条件的，在实际应用中要加以注意。如格林公式积分区域的边界是封闭的，如要利用这个公式，必须“补上”特殊路径，构成封闭路径，在结果中再将“补上”部分的结果去掉。

2)R积分具有的性质：

这些性质与一元定积分的性质相似，易于学生理解与掌握，从而形成演绎思维能力。

3 R积分的思想方法

数学思想是知识的灵魂，方法是知识应用的桥梁。只有理解了R积分的思想方法，才能在研究和解决问题时较容易运用相应的数学知识，构建合适的数学模型，探求出最佳路径。R积分蕴含着重要的数学思想方法——微元法。微元是R积分应用的关键要素，微元选择的精确性，不仅关系对R积分理论理解的深刻性，还关系到对微元本质的界定和所求量的正确性。在微元法中，微元是如何获得的呢？是否是“以直代曲、以均匀代不均匀、以不变量代变量”中那“微小的部分”呢？先从如下的定义来研究与分析：

定义2[5]在任意区间[x,x,+Δx]⊂[a,b]若能把φ的微小增量Δφ近似表示成Δx的线性主体形式，即Δφ≈f(x)Δx，其中f(x)为一连续的函数，且当Δx→0时，Δφ=f(x)Δx+o(Δx)，dφ=f(x)dx称为φ的微元。

定义2′[6]若f(x)在有界闭区域Ω上可积，在区域Ω任取一微小区域Δv，该区域部分增量Δφ的近似值记为dφ=f(x)dx，称为φ的微元。

以上2个定义都隐含着这样的2个条件：

(1)可测几何体φ在分布区间中是代数可加的；

(2)Δφ为微分，是Δv的线性主体部分，即Δφ=f(p)dv+o(Δv)。

Δφ的近似值很多，但用f(p)Δv近似替代时，误差必须是一个比Δv更高阶的无穷小量。这是微元的核心与关键条件，若理解不透彻，将无法确保证微元的精确性，得出不同且不易判别的结果，产生混乱性思维，影响问题的解决，也挫伤学生学习的热情。

例1 探求区间[a,b]上的光滑曲线f(x)>0绕x轴旋转一周所得曲面的面积。

图2 曲线绕x轴旋转一周之图

4 R积分应用举例与分析

图3 曲边梯形图示

弗莱登塔说过：要改进微积分的教学，只有一个方法，那就是尽量把它和现实联系起来，若抽象的内容不联系实际，在学生眼里，它只能是散乱而毫无价值的东西。R积分内容抽象、方法独特、应用广泛，只有将其与实际应用相结合，才能促进学生更好地理解R积分的内涵。这里只选取在计算方法、微元选择、应用领域相对较独特的例子，通过这些思想方法、知识体系分析与研究，进一步加强学生对R积分理论的准确把握和正确应用，不断提高学生的总结应用能力与创新能力，从而加强对整个理论体系的深入理解与内化。

例2 图3所示：求曲边梯形绕y轴旋转一周所得的体积。

该问题的独特性在于巧取微元，直接计算，而不是利用求旋转体的体积公式来求，进一步树立了定义解题的典范，充分显示了微元的巨大魅力。

方法2:针对这类含x2+y2形式的问题，还可用极坐标变换。

图4 积分区域D之图

这是教材[5]的一道习题，若按常规解法，可用积分换元，而积分换元有两种方法：

①作变换u=x-y,v=x+y，则雅可比行列式

②作变换u=x+y,v=x-y，则雅可比行列式

图5 第一种变换对应图 图6 第二种变换对应图

究其原因是：作第一种变换时，(x,y)沿D的边界曲线逆时针行走时，其对应点(u,v)沿其边界线也是逆时针方向，两者是一致的，故雅可比行列式为正(见图4)；作第二种变换时，(x,y)沿D的边界曲线逆时针行走时，其对应点(u,v)沿其边界线却是顺时针方向，两者方向相反，故雅可比行列式为负(见图5)；但显然SD>0。当然，还有可以用整体换元法取微元的方法来解，更简单明了。

解：因为点(x,y,z)在球面x2+y2+z2=R2上，由对称性和高斯公式可得：

该例题充分利用了轮换对称性。当然在运用时要注意是区域的对称性还是函数的奇偶性。通过轮换对称性可以将积分区域、积分计算大大简化。(部分函数在对称区间上的积分为零)。

该例题将离散的有限项和转化为连续的定积分,除了充分应用定积分的概念解题外,还充分显示了离散与连续变换的思想。

[1]章劲鸥.高等数学探究式教学案例研究[J].宁波教育学院学报,2015，17(02)：55-57.

[2]凌海生.定积分概念教学探讨[J].教育与职业,2008，(21):93-94.

[3]张景中.定积分的公理化定义方法[J].广州大学学报：自然科学版,2007，6(06):1-5.

[4]张景中.微积分学的初等化[J].华中师范大学学报：自然科学版,2006，12(05):475-484.

[5]华师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2013:253,365.

[6]左云,应六英.关于积分概念认识的统一性[J].江西电力职业技术学院学报,2005，18(03):41-43.

[7]李红梅，张晓梅.“形”“意”结合促进概念教学——以定积分概念为例[J].西昌学院学报：自然科学版,2014，6(02)：151-153.

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[12]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社,2006:275-276.

[责任编辑：关金玉 英文编辑：刘彦哲]

R Integral Theory and Its Application Research

ZHANG Xue-mao

(School of Mathematics and Sciences,Taizhou College,Taizhou,Jiangsu 225300,China)

Objective To help students understand the informative, structural,thinking characteristics and applications of Riemann integral and pick up the connotation of Riemann integration theory and its applications,and to improve the ability of overall induction and application innovation of students.Methods By taking definite integral(one variable,double integral,triple integral),curvilinear integral(the first type,the second type),surface integral(the first type,the second type)as research objects,the research and exploration were carried out from the following aspects such as the essence of the concept origin,the internal structure analysis,the analysis of thinking method and the typical application examples.Results The essence of Riemann integral is sum limits and it may be unified in form.The inner structure of R integral and the constraints of transformation of four main formulas were obtained.The standard and basis of for infinitesimal element in infinitesimal method were reached.The corresponding methods should be adopted for typical applications.Conclusion For multiple definitions,abstract content,different forms and unique method of R integral,it should be from the viewpoint of a whole to understand the essence of the concept and analyze the relationship between all kinds of integral and their inner transformation methods.The understanding and internalization of the whole theoretical system should be strengthened to promote students’ understanding of its connotation by combining theory with practical application.

R integral;concept;structure;thought;application

江苏省大学生实践创新训练项目(201512917020X)；泰州学院教改项目(2014JGA06)

张学茂(1970-),男，江苏姜堰人，副教授，硕士。主要研究方向：基础数学。

O 175.2

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.11.001

来稿日期：2016-05-20