李 雪，高伟清，徐 强，胡继刚，李 媛，张 维，陈向东，袁自钧，余有龙



面向中红外FBG刻写的相位模板衍射光场分析

李 雪a, b，高伟清a，徐 强a，胡继刚a，李 媛a，张 维a，陈向东a，袁自钧a，余有龙b

( 合肥工业大学 a. 电子科学与应用物理学院；b. 仪器科学与光电工程学院，合肥 230009 )

基于有限元算法建立用于刻写中红外光纤布喇格光栅(Fiber Bragg Grating, FBG)的相位模板物理模型，对相位模板的衍射光场进行模拟分析。在模拟过程中，采用平面波和球面波两种不同光源。采用平面波作为入射光时，通过改变平面波的入射角度和相位模板光栅的刻槽深度分析Talbot衍射图样的变化。采用球面波作为入射光时，通过改变光源与相位模板的距离分析衍射图样的变化。结果表明，当平面波以任意角度斜入射时，沿与入射光相同方向形成Talbot衍射图样。当改变相位模板刻槽深度时，Talbot衍射图样的形状和能量分布均发生变化：随着刻槽深度的增加，衍射能量最大值逐渐变大；当刻槽超过一定深度时，能量最大值开始减小，同时Talbot图像向均匀条纹演变。当球面波入射到相位模板时，Talbot衍射图样沿球面波传播方向分布。随着球面波波源逐渐靠近相位模板，能量最大值逐渐升高；当超过一定距离时，能量最大值开始下降。

光纤布喇格光栅；相位模板；Talbot衍射图样；有限元算法

0 引 言

光纤布喇格光栅(Fiber Bragg Grating, FBG)是通过各种曝光技术在光纤纤芯内形成的折射率空间周期性分布，其具有工作波长可调谐、插入损耗小、体积小、易与光纤器件集成和不易受环境尘埃影响等优异性能，广泛应用于光通信[1]、光纤激光器[2]和光纤传感器[3]等领域。1989年，Meltz等人首次采用全息写入技术在掺锗石英光纤上制作出反射波长位于可见光波段的FBG[4]。1993年，Hill等首次提出相位掩模法刻写FBG[5]。经过几十年的发展，产生了多种FBG刻写技术，如驻波法[6]、逐点写入法[7]、双光束全息曝光法[4]和相位掩模法[5]等。其中相位掩模法对光源的相干性以及环境的稳定性要求相对较低[8]，且成品率高，因此成为刻写FBG最常用的方法之一。已报导的基于相位模板刻写FBG的工作有：在少模光纤中刻写FBG[9]，利用超短脉冲和相位掩模板法制作FBG[10]，微刻蚀阶跃光纤中刻写高反射率的FBG[11]等。

通常利用紫外光加相位模板在光敏性石英光纤中刻写1.06 μm和1.55 μm波段的FBG，但在大于2 μm的中红外波段，需要采用基于软玻璃材料光纤才能透光，如氟化物、碲酸盐和硫化物光纤。由于软玻璃材料自身容易被造成机械损伤，所以不适合采用载氢技术增强光敏性。2006年，Wikszak等人报道了利用800 nm近红外飞秒脉冲加相位模板直接在非光敏性的掺铒石英光纤中写入FBG，并获得1 550 nm附近的激光输出[14]。采用800 nm的飞秒脉冲可穿透聚合物包层，无需对光纤进行载氢等预处理，理论上可直接在氟化物、碲酸盐和硫化物等软玻璃光纤中写入FBG。近几年，利用800 nm飞秒脉冲加相位模板已经成功在氟化物、碲酸盐和硫化物光纤中写入FBG[15-16]。2006年，Grobnic等人首次利用800 nm飞秒脉冲和相位模板在非掺杂氟化物中刻写BFG[17]。2009年，Suo等人利用800 nm飞秒脉冲和相位掩模技术在三芯碲酸盐光纤中写入FBG[18]。但是对800 nm光束加相位模板刻写FBG的理论分析还较少报导。

本文基于有限元算法和经典标量衍射理论，对800 nm光束加相位模板刻写中红外FBG模型进行数值模拟和分析，主要包括：1) 平行光垂直入射到不同刻槽深度的相位模板上；2) 平行光以不同角度斜入射到具有固定刻槽深度的相位模板上；3) 平面波和球面波两种光源入射到具有固定刻槽深度的相位模板上。通过对上述情形下相位模板的衍射光场模拟分析和比较，为实验开展中红外波段FBG刻写提供理论依据。

1 相位模板物理模型建立

相位模板是一种衍射光栅，基于单缝衍射和多缝干涉的叠加。光的衍射和干涉的分析是以光的波动性为基础，采用COMSOL波动光学模块模拟相位模板充分考虑了光的波动特性，能对相位模板的衍射特性进行精确的分析。

1.1 COMSOL Multiphysics软件的简介

COMSOL Multiphysics软件基于有限元算法，通过运用求解偏微分方程或偏微分方程组的数学方法实现对真实物理现象的计算、模拟、仿真。COMSOL一般按照顺序结构对指定模拟对象进行分步设置，其设置过程为：1) 确定分析维度；2) 选取物理方程；3) 定义常量和变量；4) 建立几何模型；5) 物理方程参数设定及边界条件设定；6) 网格剖分；7) 求解器设定；8) 求解及结果显示。

1.2 标量衍射理论和有限元算法

标量衍射理论是将光场当做标量，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，对其它分量也采用同样的处理方法，忽略电磁场矢量间的耦合特性。其核心问题为：用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一观察点的复振幅分布，如果边界面上复振幅分布相同，即使光振动的方向不同，所得结果也应该相同。

有限元算法的基本思想为：首先，将表示结构的连续体离散为若干个单元的组合体；其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示；最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，应用数值方法求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组。

图1 模拟相位模板衍射场的物理模型

1.3 相位模板物理模型建立

如图1所示为模拟相位模板衍射场的物理模型，由空气域、相位模板域和完美匹配层(Perfectly Matched Layer，PML)三种域构成。波动电磁场问题的求解，总是希望计算域的边界支持电磁波以无反射的方式通过。PML恰好具有此特点，可以吸收任何方向的出射波，避免边界上非物理反射的发生。在模拟相位模板的过程中，边界1和边界2处于模拟域的截断部位，设置PML的主要作用是吸收边界1和边界2上的非物理反射，避免对产生的衍射图样造成影响。PML的厚度决定着光吸收效果的好坏，厚度太薄会使光吸收效果不理想，超过一定厚度时吸收效果没有明显变化，选择适当的厚度即可，取厚度=/2(为相位模板周期)，PML的材料应与相邻域所选择的材料保持一致。相位模板域采用折射率为1.45的SiO2，使入射光产生衍射。模板顶部和底部均为空气域，因为光源由空气入射，经过模板之后在空气中产生衍射现象。

1.4 边界条件及网格剖分的设置

COMSOL物理场中的边界条件可以对输入光和输出光进行设置，本文模拟入射端口、出射端口均采用散射边界条件(Scattering Boundary Condition，SBC)。软件的模拟与真实的实验操作之间存在一定的差距，实际中自由空间是无限大的，不存在边界问题。而在模拟过程中，所分析的几何模型范围有限，边界的设定必须考虑到是否有后向反射光对前向传播光造成影响。因此在选择边界条件时，尽可能地减小反射光的影响。一阶SBC只有在辐射精确沿法线入射到边界上时才会无反射，所有非法向入射到SBC上的波都会发生部分反射。与一阶SBC相比较，相同的角度入射二阶SBC的反射率更低。例如：在60°的入射角下，一阶SBC的反射约为10%；而二阶SBC在入射角约为75°时才能使反射达到10%。因此，采用二阶SBC。

网格剖分是建立有限元模型的一个重要环节，所划分的网格形式对计算求解精度和计算规模将产生直接影响。因此，网格数量、网格质量以及网格疏密等成为必须考虑的因素。网格数量的多少将影响计算精度和计算规模，网格数量增加，计算精度会提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡这两个因素的影响程度。划分网格时一般要求网格质量能达到某些指标要求，在重点研究的结构关键部位，应保证划分高质量网格。总之，在不影响所需结果的前提下对网格进行适度的剖分。本文模拟中采用自由剖分三角形网格，设置了最大单元尺寸和最小单元尺寸，其它为默认值。

2 模拟结果与分析

在整个数值模拟过程中，采用波长为800 nm的光源、周期为1 070 nm和占空比为0.5的相位模板。基于不同类型的模拟条件，模拟结果分为三部分：1) 以平面波作为特定波源，改变入射角；2) 以垂直入射的平面波作为波源，改变相位模板的刻槽深度；3) 以球面波作为波源，改变球面波波源到相位模板的距离。对第一部分进行分析是因为在实际应用中，无法保证光源零误差垂直入射到模板上，总会产生较小的斜入射角。它的存在使Talbot衍射图样沿某一方向倾斜，同时能量分布和衍射能量最大值均发生变化，影响实际刻写FBG的质量。产生斜入射的原因有元件误差、人眼误差等；对第二部分进行分析考虑到相位模板刻槽深度抑制0级衍射光的能力以及模板选择。在刻写FBG时，一般只需要±1衍射光，0级衍射光的存在会影响刻写质量。通过调整相位模板刻槽深度分析其抑制0级衍射光的能力和刻槽深度的选择；对第三部分进行分析鉴于入射光并非平行光以及球面波的Talbot效应结合其它方法可以测量曲面曲率等。

2.1 平面波入射角改变对Talbot效应的影响

利用激光器和相位掩模板法刻写FBG，激光器输出的激光束一般为基模高斯光束。Talbot衍射图样的一些验证性模拟仿真采用高斯光束作为入射源，需考虑光源的多种因素。高斯光束是一种高斯球面波，横截面内光强成高斯分布。而平面波是一种理想光源，等相位面为平面，采用平面波作为入射光，可以忽略这些因素，在不影响模拟结果的前提下简化模拟过程。

图2所示为平面波(TE波)垂直入射到相位模板上的Talbot衍射图样。TE波传播方向沿图1中的方向，偏振面平行于二维相位光栅。此时相位模板为任意的相位转移，刻槽深度为/4=267.5 nm，对0级衍射光的抑制能力相对较差。从图2(a)可看出，平面波经相位光栅衍射效应形成的Talbot衍射图样沿方向周期分布，其周期为Talbot长度T；沿方向同样为周期分布，周期为/2，其主要原因是0级衍射光和±1级衍射光进行干涉所致。图2(b)是平面波中心处的光场分布，周期分布更为明显。为了验证数值模拟的Talbot衍射图样的正确性，将模拟所得的Talbot长度值与根据理论公式计算所得值进行比较。从图2(a)中，可得Talbot周期长度T≈ 2.4mm。Talbot周期可由下式表示[19]：

式中：=2π/，=2π/，为波长，为光栅的周期，，为衍射级。取=0，=1，=800 nm，=1 070 nm，由式(1)可得最大周期长度理论值T=2.38mm，所以COMSOL模拟所得结果与理论计算保持一致。

在实际刻写FBG的过程中，需要入射光垂直于相位模板。但实验对准中光源很难绝对垂直入射到相位模板上，会发生人眼察觉不到的微小斜入射，从而引起Talbot衍射图样发生变化。因此在数值模拟时，必须将斜入射的情况考虑在内。图3为平面波斜入射时的Talbot衍射图样的情况，与图2相比仅仅改变了入射光的方向，其它条件保持一致。

图3(a)~3(d)平面波分别以1+2°、25°、32°和45°入射到相位模板上。图3(b)与图3(a)相比，Talbot衍射图样的倾斜方向相同，但图3(b)较图3(a)的倾斜程度明显；同样地，图3(d)与图3(c)相比可得相同结论。因此，当入射光沿某一方向斜入射时，Talbot衍射图样沿相同的方向倾斜，斜入射角越大，倾斜程度越明显，主要原因是零级衍射光总是沿着入射光的方向传播。将图3与图2进行比较，可知平面波中心处的Talbot衍射图样发生了倾斜。

图2 平面波垂直入射时的Talbot衍射图样(a) 平面波在整个相位模板上的Talbot衍射图样；(b) 平面波中心处的Talbot衍射图样

2.2 掩模板刻槽深度改变对Talbot效应的影响

在制作FBG时，通常需要±1级衍射光[20]。理想情况下，在近场衍射区域产生对称分量±1衍射光，通过二者之间的双光束干涉效应，在图1中的方向形成周期为/2的均匀等间距垂直干涉条纹，根据式(1)计算可得方向周期T=∞。然而实际刻写中，大多数相位模板的衍射光还包含了0级衍射光和其它高级次衍射光，产生的衍射图样结构复杂，降低FBG的折射率调制度。由于高阶衍射光的衍射能量远低于0级、±1级衍射光能量，可以忽略不计。所以利用相位掩模法在光纤中刻写FBG时，考虑相位模板对0级衍射光抑制程度具有重要意义。相位模板对0级衍射光的抑制是由许多因素决定的，其中相位模板的刻槽深度、占空比均是影响0级衍射光衍射效率的重要因素。我们在此将占空比作为常量，分析刻槽深度对0级衍射光的抑制。根据标量衍射理论，取=0.5，如果要完全抑制0级衍射光，需要的刻槽深度为[21]

其中sio2为相位模板折射率。由式(2)计算得完全抑制0级衍射光的理论刻槽深度为889 nm。在实际制造相位模板的过程中，基于各种工艺控制误差使刻槽深度偏离最佳值，相位模板会产生一定的剩余0级衍射能量，只能保证0级衍射光的能量大约为入射光能量的1%，而±1级衍射光各自的能量约为入射光能量的40%[21]。图4所示为刻槽深度改变对Talbot衍射图样的影响，与图2相比，仅仅改变了相位模板的刻槽深度，其它条件保持不变。图4(a)~4(d)刻槽深度分别为400 nm、600 nm、800 nm和889 nm，随着刻槽深度的加深，衍射能量最大值逐渐变大，如图4(a)~4(c)所示；当刻槽超过一定深度时，能量最大值开始减小，如图4(d)所示。随着刻槽深度的加深，沿图1中方向衍射图样周期保持不变，沿图1中方向衍射图样周期保持不变，单条纹宽度逐渐增加，Talbot图像逐渐向均匀线状衍射条纹演变。根据图4(d)所示，当刻槽深度为889 nm时，衍射条纹并未理想的线状条纹，即仍然存在0级衍射光的影响，数值模拟和理论有一定偏差。其原因在于，标量衍射理论是一种近似理论，忽略了光波的矢量特性，而数值模拟过程中视光波为矢量波，需考虑其偏振态等矢量效应。因此两者的刻槽深度最优值之间存在偏差，但相差不大。

图3 平面波斜入射到相位模板上时的Talbot衍射图样

图4 平面波入射到不同刻槽深度相位模板上时的Talbot衍射图样

2.3 球面波波源到相位模板的距离改变对Talbot效应的影响

与平面波类似，球面波照射相位模板同样产生Talbot效应。基于不同的光学特性，球面波产生的Talbot图像不同于平面波产生的Talbot图像，但产生原理相同。在实际刻写FBG时，入射光不是绝对平行光，同时考虑到球面波Talbot效应的实际应用，因此对球面波进行分析。如图5所示，分析了球面波波源到相位模板距离改变对Talbot衍射图样的影响。从图5(a)~5(d)，距离分别为10.7 μm、7.49 μm、4.28 μm和1.07 μm。随着波源逐渐靠近相位模板，衍射能量最大值逐渐升高，如图5(a)~5(c)所示；当波源到模板超过一定距离时，能量最大值开始降低，如图5(d)所示。而且波源距离相位模板越远，Talbot图像的曲率半径越大。相对于平面波而言，球面波沿各个方向传播，Talbot图像沿传播方向分布且能量相对分散。通常情况下研究的是平面波照射相位模板所产生的Talbot效应，而对球面波照射相位光栅产生的Talbot效应的分析将进一步完善Talbot效应理论。球面波Talbot效应已经被应用到力学、计量等许多方面，如利用球面波Talbot效应测量材料弯曲的曲率[12]、利用球面波Talbot衍射效应获得不同节距的光栅和虚应变光栅[13]等。

图5 球面波波源与相位模板相隔不同距离时的衍射图样

3 结 论

基于有限元算法建立用于刻写中红外FBG的相位模板物理模型，采用平面波和球面波两种光源对相位模板的衍射光场进行模拟分析。通过改变平面波的入射角和相位模板刻槽深度，分析了不同情况下的Talbot衍射图样。当平面波沿某一方向斜入射时，形成的Talbot衍射图样保持与入射光相同的方向倾斜。当改变相位模板刻槽深度时，Talbot衍射图样的形状和能量分布均发生变化。随着刻槽深度加深，衍射能量最大值逐渐变大，当刻槽超过一定深度时，能量最大值开始减小。并且随着刻槽深度加深，Talbot图像向均匀线状衍射条纹演变。当球面波入射到相位模板上时，Talbot衍射图样沿球面波传播方向分布。随着波源逐渐靠近相位模板，衍射能量最大值逐渐升高；当光源与相位模板间距低于一定距离时，能量最大值开始降低。基于本文的模拟结果，将为实际采用飞秒脉冲加相位模板技术刻写中红外波段FBG提供理论依据。

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Analysis on the Diffracted Light Field by Phase Mask for Mid-infrared FBGs Inscription

LI Xuea, b，GAO Weiqinga，XU Qianga，HU Jiganga，LI Yuana，ZHANG Weia，CHEN Xiangdonga，YUAN Zijuna，YU Youlonga,b

( a. School of Electronic Science and Applied Physics; b. School of Instrument Science and Opto-electronics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China )

The physical model for the inscription of mid-infrared Fiber Bragg Grating (FBG) is established based on the Finite Element Method (FEM). The diffracted light field by the phase mask is analyzed. Two light sources as the plane wave and spherical wave are adopted in the simulation. When using the plane wave as the incident beam, the variation of the Talbot diffraction pattern is deeply analyzed by changing the incident angle of the plane wave and the groove depth of the phase mask. When using the spherical wave as the incident light, the variation of the diffraction pattern of the phase mask is analyzed by changing the distance between the light source and the phase mask. As a result, when the plane wave is incident in an arbitrary angle, the Talbot diffraction pattern is formed along the same direction as the input. The profile and maximum energy of the Talbot diffraction is changed with the groove depth of the phase mask. With the groove depth increasing, the maximum diffraction energy increases gradually. However, it begins to decrease after the depth reaches certain value. At the same time, the Talbot image tends to evolve to the uniform fringes. When the spherical wave is incident on the phase mask, the distribution of Talbot diffraction pattern is along the propagation direction of the spherical wave. As the distance between the spherical wave and phase mask is decreased, the maximum diffraction energy is higher. Then it begins to decrease after the distance is smaller than some certain value.

fiber Bragg grating; phase mask; Talbot diffraction pattern; finite element method

1003-501X(2016)12-0013-07

TN253

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.12.003

2016-04-12；

2016-07-15

国家自然科学基金(11374084，61307056)；安徽省自然科学基金(1508085QF123)

李雪(1991-)，女(汉族)，河北邯郸人。硕士研究生，主要研究工作是中红外波段光纤拉曼激光器。E-mail:18326677316@163.com。

高伟清(1979-)，男(汉族)，安徽庐江人。博士，副研究员，主要从事光纤激光和光纤非线性效应的工作。E-mail: gaoweiqing@hfut.edu.cn。