王笑丹, 陶有山

(东华大学 理学院， 上海 201620)

具间接信号产出的二维趋向性模型古典解的整体存在性和有界性

王笑丹, 陶有山

(东华大学 理学院， 上海 201620)

间接信号产出； 趋向性； 古典解； 整体存在性； 有界性

趋向性(chemotaxis)是由化学信号的浓度梯度引起的细胞的偏向运动，细胞偏向于朝化学信号浓度增加的地方移动.趋向性在许多生物环境中都有重要应用，如：细菌聚集、免疫反应、肿瘤诱导的血管生成等[1 3].近几十年，描述细胞响应于自身信号产出的集体行为的数学模型被广泛应用，不仅在生物学方面得到了深入研究，其数学特征也在多方面取得了深刻理解.

著名的趋向数学模型描述了细胞直接信号产出的集体行为，称为经典的Keller-Segel模型[4]，具体表示为

其中：Ω⊂Rn是一个光滑有界区域，n表示空间维数；u表示细胞密度；v表示细胞产生的化学信号浓度；υ表示边界的外法向量；t表示时间.

假设化学信号的扩散远远快于细胞的扩散，这一假设在物理上是有意义的.故上述经典模型可用如下模型[5]逼近：

当空间维数n=1时，上述两个模型的解整体存在且一致有界[6].当n=2时，存在临界质量现象，即存在常数mc>0，当细胞质量m:=∫Ωu0mc时，总存在初始数据满足∫Ωu0=m，使得模型的解在有限时间爆破[7 - 9].当n≥3时，对任意m>0，总能找到初始数据满足∫Ωu0=m，使得相应模型的解在有限时间爆破[10].

近些年，加拿大西部和美国森林中的山松甲壳虫，其生存和繁衍给森林造成了巨大损害.飞行中的甲壳虫落在松树上，啃噬树身形……