郭少军, 寇春海, 申明圆

(东华大学 理学院, 上海 201620)

一类具有时滞的HIV-1型传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析

郭少军, 寇春海, 申明圆

(东华大学 理学院, 上海 201620)

利用特征值理论分析了无病平衡点和地方病平衡点的局部渐近稳定性. 同时, 由于时滞τ的出现, Hopf分岔行为在系统中产生, 应用中心流形定理和规范形理论, 给出系统的分岔方向及分岔周期解稳定性计算公式. 最后, 通过数值模拟验证了理论分析结果.

传染病模型; 时滞; Hopf分岔; 稳定性

近年来, 在研究和分析HIV(艾滋病病毒)感染的动力学性态过程中, 数学模型的重要作用已被诸多研究所证明[1-3]. CD4+T细胞感染HIV模型的研究有了若干研究成果, 2014年, 文献[4]建立了一个五维系统并讨论了该系统的稳定性. 同时, 数学家对免疫时滞的病毒动力学模型也有了一些研究[5-9]. 由于从健康T细胞和病毒结合到能释放出病毒之间需要一段时间τ, 因此, 本文将在文献[4]研究的基础上考虑具有Holling II型感染率且带有时滞的HIV模型, 模型见式(1)所示. 式(1)中各参量的意义及取值见表1所示.

(1)

定义该模型的初始条件为

y1(θ)=φ1(θ), y2(θ)=φ2(θ),

y3(θ)=φ3(θ), y4(θ)=φ4(θ),

y5(θ)=φ5(θ)

(2)

表1 各参数的含义和模拟中的取值[4]Table 1 The meaning and the simulation values of the parameters

在生物学的意义下, 假定φi(θ)≥0, θ∈[-τ, 0], i=1, 2, 3, 4, 5, 且式(1)中的所有系数均为正. 不难证明, 具有式(2)所示初始条件的式(1)模型的解总存在且为正.

1 平衡点的稳定性和Hopf分岔分析

(3)

1.1 无病平衡点E0的稳定性分析

定理1.1.1 当R0<1时, 对任意τ≥0, E0是局部渐近稳定的; 当R0>1时, E0是不稳定的．

证明: 式(1)模型在E0处的特征方程为

(4)

显然, ξ1, 2, 3=-d, -b, -h是方程式(4)的3个单重负根．考虑下面的超越方程

(5)

(1) 当τ=0时, 有

(6)

又

因……