任春年， 李文东， 顾永建

(1.中国海洋大学信息科学与工程学院，山东 青岛 266100； 2.青岛科技大学信息科学技术学院，山东 青岛 266061)

普适投币算符作用的量子行走数值解以及安德森局域化仿真

任春年1，2， 李文东1， 顾永建1

(1.中国海洋大学信息科学与工程学院，山东 青岛 266100； 2.青岛科技大学信息科学技术学院，山东 青岛 266061)

量子行走在量子计算与量子系统仿真方面具有重要的应用价值，因而成为当前量子信息领域研究的热点之一。但量子行走的数值解和解析解，尤其是高维量子行走相关解的研究工作还比较少。另外，近期的研究表明：量子行走可用于模拟物理系统中十分重要的安德森局域化现象，因此研究普适投币情况下的量子行走的解具有一定的科研价值。本文在现有的一维普适算符基础上，通过直积的方式构造了二维普适投币算符，给出了其数值解，并利用数值解对二维的安德森局域化现象进行了仿真。为普适投币情况下的量子行走及安德森局域化提供了理论研究的工具。

量子行走； 普适投币算符； 安德森局域化； 量子仿真

1958年安德森指出周期性势阱的无序化(Disorder)将导致粒子波函数出现局域化现象，被称为安德森局域化[7]。局域化是由边界条件的随机变化造成动力学系统周期性的破坏，并产生的一种量子态耗散缺失的现象。根据非周期性边界随时间是否变化，局域化可分为动态disorder和静态disorder。通过量子行走的演化算符可对局域化进行模拟[8-11]，并且量子行走用于模拟安德森局域化在理论和实验上都有很大的优势，但是目前的研究主要集中在一维量子行走的情况[12-13]，仅有少量的文献分析了Hadamard投币算符作用下二维量子行走的情况[14-15]，而普适投币算符作用下量子行走以及三维的量子行走中的安德森局域化在理论和实验上都没有文献报道。

本文的主要工作分为三部分：首先选用文献[16]给出的幺正算符用作量子行走的普适投币算符，推导出了普适投币算符作用下量子行走的递推解。其次，通过直积的方法使用普适投币算符构造了二维普适投币算符，推导出了递推解。最后，根据该递推结果对静态disorder和动态disorder情况下的局域化进行了仿真。

1 普适投币算符及其作用下一维量子行走递推解的推导

假设行走者沿着处于一条直线上的N个离散点移动，此时的空间构成了一个N维的希尔伯特空间HN，计算基为{|j〉,0≤j≤N-1}对应于顶点的标号。投币和移位直积成的空间为H2⊗HN，计算基为{|s，j〉,0≤s≤1,0≤j≤N-1}，假设s=0对应着向前行走的情况，s=1对应着向后行走的情况，此条件下的移位算符：

S|s，j〉=|s，j+(-1)s〉，

(1)

在t=0时刻的状态描述为：

(2)

|Ψ0,j(t)|2+|Ψ1,j(t)|2=1。

(3)

当实现投币操作的量子器件是理想状态时(例如能够严格实现1∶1分光的分束器)，对应公平投币(FairCoin)，数学上用Hadamard矩阵表示。但Hadamard矩阵无法描述非理想状态下的非公平投币(UnfairCoin)操作。公平投币情况下，一维的(线或环)量子行走向前和向后行走的概率是相同的，其投币算符为：

(4)

此时的量子行走演化算符为标准的演化算符

(5)

由于真实的物理系统受到器件工艺水平的限制以及外界因素的干扰，投币过程往往要偏离公平投币状态。因此，研究同时适用于公平投币和非公平投币的普适投币算符具有一定的研究价值[17]。Bach的文章指出一维投币算符可对应于如下的任意的2×2酉矩阵[15]：

(6)

(7)

下面使用普适算符推导量子行走演化过程的递推解，首先用普适投币算符分别作用到|0〉和|1〉状态上：

(8)

e-iδsinθ|0〉-e-iΔcosθ|1〉。

(9)

设第t步的波函数为|Ψ(t)〉，对当前波函数应用一次普适投币算符和移位算符，得到第t+1步的波函数|Ψ(t+1)〉：

|Ψ(t+1)〉=U|Ψ(t)〉=

(10)

对应(2)式将|Ψ(t+1)〉展开为如下形式：

(11)

所以普适投币算符下一维量子行走波函数的递推关系是：

(12)

2 普适投币算符作用下的二维量子行走

二维量子行走是经典二维随机行走的量子力学对应，是在一个平面中的行走，具有前后左右四个方向。为推导普适投币算符作用下的二维量子行走，本文首先对公平投币算符作用下的二维量子行走进行了推导。二维公平投币算符是由两个Hadamard门直积构成的，量子行走的投币和位置在希尔伯特空间中可分别用矢量表示为|ix，iy〉和|x，y〉。一个行走者从二维空间某点出发进行行走，它具有前后左右四个方向：沿着x方向为前后行走，沿着y方向为为左右行走。设任意时刻总的波函数用|Ψ(t)〉表示，|Ψ(t)〉可展开为如下波函数的线性叠加：

(13)

(14)

二维公平投币可以采用以下两个Hadamard矩阵直积得到。为计算的方便，Hadamard矩阵写成外积表示：

(15)

则二维公平投币算符为：

(16)

此时算符可以表示成如下的张量形式：

(17)

投币算符的张量表示可简化量子行走求解过程的复杂度。类似于上述对二维公平投币的构造和分析。可实现对于二维的普适投币算符构造：

H2dg=C⊗C=

(18)

这里记a=cos2θ，b=cosθsinθ，c=sin2θ。

利用二维普适投币算符(18)写出递推式

(19)

上式(19)即为普适投币算符下的递推解，使用递推关系可对二维量子行走进行模拟仿真。现设t=0时初态为：

(20)

上式展开成希尔伯特空间中的外积表示后得到：

(21)

把式(21)代入到(19)任意时间和任意位置上的概率分布，可以得到二维量子行走的概率分布：

(22)

3 普适投币算符作用下二维量子行走的仿真结果与分析

另外，我们用一组随时间快速变化的投币算符仿真量子行走的动态disorder的情况，仿真结果如图5所示。同样的20步的行走动态的disorder将导致更加明显的安德森局域化现象。

4 结语

本文首先给出了一维量子行走普适投币算符的矩阵表示，并给出了普适投币算符作用下一维量子行走的递推解。然后使用直积的方法构造了二维量子行走的普适投币算符，推导了该普适投币算符的的作用下二维量子行走的递推解。使用该递推解进行了仿真，仿真的结果表明量子行走在使用disorder的投币算符作用下会出现安德森局域化。在本文研究结果的基础上，可进一步讨论二维和三维量子行走的解析解，并考虑将所要仿真的物理系统的参数跟量子行走的参数进行统一，从而用于模拟该物理系统。

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责任编辑 陈呈超

The Numerical Solution of Quantum Walk with General Coin Operator and Simulation Anderson Localization

REN Chun-Nian1,2， LI Wen-Dong1, GU Yong-Jian1

(1.College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100，China; 2.College of Information Science and Technology, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266042, China)

Quantum walk in the fields such as quantum computation and quantum simulator have important application. Recent studies show that the general quantum walk can be used to simulate extremely important Anderson localization phenomenon. The theory and experiment on quantum walk in one dimensional have been relatively comprehensive discussion, but the condition of the high dimensional quantum walk is still scarce. The article uses one dimensional universal operator to construct two-dimensional universal coin operator, and derives the numerical solution. Finally the article accomplishs the simulation of two-dimensional Anderson localization.At first, we derive a pervasive matrix representation of one-dimensional quantum walk’s coin, and use the general coin to calculate the recursive solution of one-dimensional quantum walks. then, the general quantum walk can be simulated by the recursive solution in our paper. Secendly, we use the method of the direct product to construct the pervasive coin of two-dimensional quantum walk. The recursive solution of two-dimensional quantum walk can be used to perform the simulation algorithms, and the simulation results show that quantum walk occer disorder in using the general coin and Anderson localization is obtained. The analytical solutions of this paper can be used to further discusse three-dimensional quantum walks, construction of a experimental physical system which is used to simulate Anderson localization and delocalization.

quantum walk； universal operator； anderson localization； quantum simulator

国家自然科学基金项目(61402246)；中国博士后基金项目(2013M531771)资助

2014-12-10；

2015-10-12

任春年(1976-)，男，博士生。E-mail:scienceren@yeah.net

O431.2

A

1672-5174(2017)04-121-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20140326

任春年， 李文东， 顾永建. 普适投币算符作用的量子行走数值解以及安德森局域化仿真[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版), 2017, 47(4): 121-125.

REN Chun-Nian， LI Wen-Dong, GU Yong-Jian. The numerical solution of quantum walk with general coin operator and simulation anderson localization[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(4): 121-125.

Supported by the National Natural Science Foundation of China(61402246); China Postdoctoral Science Foundation (2013M531771)