程 毅，康 悦，吴 睿

(1. 渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013; 2. 空军航空大学 基础部, 长春 130022 )



积分边值条件下一类发展包含的可解性

程 毅*,1，康 悦1，吴 睿2

(1. 渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013; 2. 空军航空大学 基础部, 长春 130022 )

本文讨论了一类发展包含y′(t)+By∈F(t,y)在积分边值条件下解的存在性问题，这里B为有界线性算子，F(t,y)是一个集值函数. 本文分别运用连续选择定理和Leray-Schauder定理证明了当F(t,y)在凸与非凸两种情况下解的存在性.

发展方程；集值函数；连续

0 引言和预备知识

近年来，关于积分边值条件下发展方程的可解性问题一直是国内外研究的热点内容之一，并且产生了许多优秀的研究成果〔1-4，7-10〕. 然而对于积分边值条件下发展包含的可解性问题,相关结果却很少. 因此，本文研究了在积分边值条件下一类发展包含y′(t)+By∈F(t,y)的可解性问题，其中B为有界线性算子，F(t,y)是一个集值函数. 下面介绍本文中需要的符号及基本概念.

记

这里y′表示y的导数.C2π,V1,2(L,RN)是Banach空间，其范数分别为

设[L,∑]是可度量的Lebesgue空间，Y是可分的Banach空间.

令M⊂Y的闭集,y∈Y,则y到集合M的距离定义为

d(y,M)=inf{|y-m|:m∈M}.

定义 Pf(Y)={M⊂Y:非空闭集}，令F:L→Pf(Y)是一个集值函数. 对于任意的z∈Y,当且仅当t→d(z,F(t))=inf{‖z-y‖:y∈F(t)}是可测的，F是可测的. 对于集值函数G:L→2Y{φ}，如果GrG={t,y}:y∈(t)}∈∑×N(Y),这里N(Y)是Y的Borel σ-域，则称函数G:L→2Y{φ}的图像是可测的. 对于∀M,N∈Pf(Y).(Pf(Y),h) 是完备的度量空间. 在Pf(Y)上定义广义度量为“Hausdorff度量”，记作

令X,Z是Hausdorff拓扑空间，G:X→2Z{φ}.G(·)为上半连续，若对于任意的C⊆Z是闭的且是非空的，那么G-(C)={x∈X:G(x)∩C≠φ}(G+(C)={x∈X:G(x)⊆C}在X内是闭的.

证明:首先考虑下面的柯西问题：

(1)

其中λ∈RN. 易知，问题(1)有唯一解，可表示为

(2)

对(2)两边同时取积分得

(3)

(4)

存在……