许 文●

华中科技大学附属中学(430074)

立体电场例析

许 文●

华中科技大学附属中学(430074)

在近几年全国与各地的高考物理试题中，我们看到常常以点电荷的立体电场为背景的相关试题.这类试题从多侧面、多角度、全方位的对电场中场强与电势的分布特征、场强与电势的关系、电场力做功与电势能的变化规律等进行考查，要求考生从立体的角度全面的认识电场的性质，这对考生的能力要求明显提高.因此我们在高考备考复习中，对常见一些典型电场在了解其平面分布特征后，要向立体延伸，具有一定的空间想象力，建立正确的电场图景.本文对常见的电场的立体分布特征作出分析与总结.

一、匀强电场

匀强电场各处的场强大小相等、方向相同.其特征有：(1)电场线平行等距，其等差等势面(线)也平行等距；(2)沿场强E方向相距为d的两点的电势差为U，有U=Ed；(3)沿同一方向两点间的电势差与距离成正比；(4)平行等长的两线段端点的电势差相等；(5)匀强电场中某线段中点的电势等于两端点电势的(算术)平均值.

例1 (2009宁夏)空间有一均匀强电场，在电场中建立如图1所示的直角坐标系O-xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标(0，a，0)，N点的坐标为(a，0，0)，P点的坐标为(a，a/2，a/2).已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1V，则P点的电势为

评析 本题利用电场线与等势面垂直的关系先作出等势面，再利用匀强电场中沿场强方向两点间的电势差与电场强度的关系为U=Ed，沿同一方向两点间的电势差与距离成正比来进行求解.求解的关键是找出P点在xoy平面的等势点P′，将此立体的匀强电场在xoy平面的分布图画出.

A．UDC=4 V B．UDC=3 V

C．E=200 V/m D．E=400/3 V/m

解析 由题意知AB是匀强电场中的一条等势线.作DO垂直于底面ABC于O，连CO交AB于M(图4所示)，由几何知识可知CM⊥AB，MC是一条电场线，DO是一条等势线.由于OC=2MC/3，则

评析 本题由题给条件容易判断AB是一条等势线，由等势面与电场线垂直可知MC是一条电场线，再由三垂线定理等几何知识判断DO也是一条等势线，这是问题求解的关键.

二、点电荷电场

点电荷的电场线以点电荷为中心，沿径向向外辐射，其等势面是以点电荷为球心的球面，离球心越近，等差等势面也越密.电场的分布特征具有多种对称性.

例3 水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图5所示.已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量q为

评析 由正四面体的对称性，判断A、B、C三个相同的点电荷在O点产生的场强均与过O点的竖直线成θ角，并用几何知识表达出此角度的函数值，这是对放在O点的带电小球建立力的平衡方程的基础.

三、等量双点电荷电场

1．等量异种点电荷电场(图6)有以下特征：

(1)两点电荷连线上：各点的场强方向从正电荷指向负电荷；两点电荷连线上中点O场强最小，靠近两两点电荷，场强变大；与O点对称的两点场强相等；顺着电场线方向电势逐渐降低.

(2)两点电荷连线的中垂面(线)上：各点的场强方向均相同，且与中垂面(线)垂直；在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等.中垂面内各点的电势相等(一般取无限处的电势为零，则中垂面内各点的电势均为零).

2．等量同种点电荷电场(图7)有以下特征：

(1)两点电荷连线上：连线中点O处场强为零，靠近两两点电荷，场强变大；与O点对称的两点场强大小相等、方向相反；顺着电场线方向电势逐渐降低.

(2)两点电荷连线的中垂面(线)上：从O点到无限远处作任一射线，此线上从O点到无限远处各点场强先变大后变小，场强方向与该射线平行；与O点等距离的两点场强大小相等.

例4 (2014湖南模拟)如图8所示，A、B、C、D是真空中一正四面体的四个顶点.现在A、B两点分别固定电量为+q、-q的两个点电荷，则下列说法正确的是( ).

A．C、D两点的场强相同，电势相同

B．C、D两点的场强不同，电势不同

C．将一正电荷从C点移到D点，静电力对该正电荷先做正功后做负功

D．将一正电荷从C点移到D点，静电力对该正电荷先做负功后做正功

解析 在A点放置点电荷+q，在B点放置点电荷-q，则在正四面体空间的电场分布是两个等量异种电荷产生电场.由两等量异种电荷电场的分布特点可知：正四面体的C点处于A、B两个等量异种电荷连线在侧面ACB内的中垂线上，故C点的电势φC=0，场强EC的方向平行于AB连线(由A指向B)；D点处在A、B两个等量异种电荷连线在侧面ADB内的中垂线上，故D点的电势φD=0，场强ED的方向平行于AB连线(由A指向B)；由于C、D两点与A、B两点电荷的距离相等，可知C、D两点场强的大小相等.

本题正确选项为A.

评析 本题图8中C点与D点的连线其实在A、B两个等量异种电荷连线的中垂面上，其中垂面是一个等势面，CD的连线是一条等势线，故不管是正电荷还是负电荷在CD线上移动，静电力(电场力)均不做功.

例5 (2013武昌区模拟)如图9所示，空间中有一个正方体abfe-dcgh，有一对等量异种点电荷分别位于空间中的d点和g点.现在各顶点间移动一正试探电荷，关于该试探电荷所受的电场力和具有的电势能，以下判断正确的是( ).

A．在e点和b点所受电场力相同

B．在a点和f点所受电场力相同

C．在e点和b点电势能相等

D．在a点和f点电势能相等

解析 根据等量异种电荷电场的分布特征可知，h、e、b、c都在过+Q与-Q连线的中垂面上，且e点与b点的到两个点电荷距离相等，所以e点与b点的场强大小相等，其方向都与中垂面垂直，所以同一试探电荷在e点和b点所受电场力的大小及方向都相同，选项A正确；由于此中垂面是一个等势面，e点和b点电势相等，故同一试探电荷在e点和b点电势能相等，选项C正确；对a点和f点，分别在两个点电荷的正下方，由等量异种电荷电场线的分布特征可知，a点和f点场强的大小相等，但方向不同，所以同一试探电荷在a点和f点所受电场力的大小相等，方向不同，选项B错误；根据等量异种电荷电场等势面的分布和顺着电场线电势降低可知，a点的电势高于f点的电势，正试探电荷在a点电势能较大，选项D错误.

本题正确选项为AC.

评析 一对等量异种点电荷在空间产生的电场具有对称性，根据电场线的分布特征和对称性，分析场强大小和方向，从而判断电荷所受电场力大小及方向；根据等势面的分布特点，判断电势的大小关系，确定电荷的电势能的大小关系.

例6 (2014湖北二模)如图10所示，真空中有一正四面体ABCD，M、N分别是AB和CD的中点.现在A、B两点分别固定电荷量为+Q、-Q的点电荷，下列说法中正确的是( ).

A．将试探电荷+q从C点移到D点，电场力做正功，试探电荷+q的电势能降低

B．将试探电荷-q从M点移到N点，电场力不做功，试探电荷-q的电势能不变

C．C、D两点的电场强度相等

D．N点的电场强度方向平行AB，且跟CD垂直

解析CD在两等量异种电荷AB连线的中垂面内，CD是一条等势线，试探电荷从C点移到D点，电场力不做功，选项A错误；MN两点的连线也在两等量异种电荷AB连线的中垂面内，故MN的连线也是一条等势线，将试探电荷从M点移到N点，电场力不做功，试探电荷的电势能不变，选项B正确；根据等量异种电荷在空间的电场线分布特点知道C、D两点的电场强度相等，选项C正确；根据电场叠加原理知道N点的电场强度方向平行AB且跟CD垂直，选项D正确.

本题正确选项为BCD.

评析 明确两等量异种点电荷中垂面的电场分布特征，认识到CD与MN均在等量异种点电荷A、B连线的中垂面内，这是求解本题的关键.

通过以上几例的分析，我们可以看出，对典型的常见电场分布特征的立体考查，这类问题既考查了电场的分布特点与规律，考查了对称性思想，也考查了对空间图形的结构认识和空间想象能力，考查了学科综合能力.这符合新课程的学习理念，很受新高考关注.

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1008-0333(2016)34-0046-02