朱 春 鹏

(徐州工程学院数学与物理科学学院， 江苏 徐州 221111)

批量到达、服务台可修的MX/G/1重试排队系统

朱 春 鹏

(徐州工程学院数学与物理科学学院， 江苏 徐州 221111)

讨论顾客批量到达且服务台会出现故障的重试排队模型。当新顾客批量到达服务台时，如果服务台忙，则新到达的顾客会进入重试组继续寻求服务或离开系统；当服务台出现故障时，会立刻得到修理并继续进行服务。利用补充变量法，结合服务时间、修理时间、重试时间研究排队队长。给出了系统稳态时的遍历条件，求解系统的稳态方程组，分析系统的各项性能指标。

批量到达； 重试； 可修； 补充变量； 稳态

当排队系统中有新顾客进入时，如果服务台忙，则顾客会去排队继续寻求服务或者离开排队系统。而实际上，大部分顾客会选择再次回到系统中继续寻求服务。针对这种情况，可建立一个重试组(Orbit)作为缓冲区，让再次回到系统的顾客进入重试组中继续寻求服务，这种排队系统即重试排队系统。重试排队系统大量用于通信、电话交换系统[1-3]。通常在某个时刻，进入系统的顾客有可能不止1个，而是批量到达。当顾客正在接受服务时，服务台有可能会出现故障无法继续服务，这时候需要立即对服务台进行维修。当服务台结束维修后，会继续提供服务[4-7]。本次研究中，将针对上述情况建立一种批量到达服务台且服务台可修的MX/G/1重试排队模型[8-10]。

1 模型描述

系统在t时刻重试、服务、修理所花费的时间分别为C0(t)、S0(t)、H0(t)。设有以下状态变量：μ(t)=0，当服务台空闲且系统中无顾客时；μ(t)=1，当服务台空闲且重试组中有顾客时；μ(t)=2，当服务台进行服务时；μ(t)=3，当服务台进行服务时发生故障。补充变量{C0(t),S0(t),H0(t)}，并建立马氏过程{N(t),Ω(t)}，其中N(t)=0,1,2…。再假设：Ω(t)=0，当μ(t)=0；Ω(t)=C0(t)，当μ(t)=1；Ω(t)=S0(t)，当μ(t)=2；Ω(t)=H0(t)，当μ(t)=3。重试、服务、修理的风险率函数算式分别为：

定义概率函数：

(1)

(2)

x≤S0(t)≤x+dx},(x>0,n≥1)

(3)

y≤H0(t)≤y+dy，S0(t)=x},

(x>0,y>0,n≥1)

(4)

2 模型建立及求解

2.1 模型建立

令

(5)

(6)

(7)

(8)

n≥1,(x,y)>0

边界条件：

(9)

(10)

n≥2,2≤i≤m

(11)

Hn(x,0)=pSn(x),n≥1

(12)

归一化条件：

(13)

2.2 模型求解

根据式(6)、(8)，假设[6-8]:

C(x,z)=C(0,z)[1-C(x)]× exp(-λx),x>0

(14)

H(x,y,z)=H(x,0,z)[1-H(y)]× exp(-a(z)y),(x,y)>0

(15)

由式(12)可得:

H(x,0,z)=pS(x,z)

(16)

由式(7)、(16)可以得到：

(17)

由式(12)、(15)、(16)可以得到：

H(x,y,z)=pS(0,z)[1-S(x)]× exp(-φ(z)x)[1-H(y)]× exp(-a(z)y),(x,y)>0

(18)

由式(5) — (12)可以得到：

(19)

(20)

又：

(21)

ρ=λE(X)E(S)(1+ph)

(22)

x>0,1≤i≤m

(23)

(24)

(25)

证明：显然，{Xn,n=1,2,…}为一个不可约、非周期的马氏链。根据Forster准则，只有满足条件

{Xn,n=1,2,…}才是遍历的。证毕。

(26)

(27)

(28)

证明：由式(14) — (25)可以得到式(26) — (28)。定理证毕。

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

证明：由式(29)、(30)、(31)，以及

Q(z)=I0+C(z)+S(z)+H(z)

可得式(32)；再由式(32)及

得式(33)；由式(32)及

3 性能指标

3.1 状态概率

服务台空闲的概率PN：

服务台正在服务的概率PS：

PS=λE(X)E(S)

3.2 队长指标

(1)重试组中的队长LO：

(2)任意时刻的系统队长LP：

(3)顾客离开后系统队长LD：

3.3 非可靠指标

系统稳态利用率θ：

系统稳态失效频率f ：

f=λE(X)E(S)

平均忙期E(TE)：

平均空闲期E(TO):

平均循环周期E(Tc):

E(Tc)=E(T0)+E(Tb)

4 结 语

本次研究中，利用补充变量法，建立了MX/G/1重试排队系统在批量到达、服务台可修条件下的数学模型。通过求解该模型得到了系统在稳态条件下的重试队长和系统队长，进而求解系统的稳态利用率、失效频率、平均忙期、平均空闲期、平均循环周期等状态指标。

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Repairable Retrial Queuing System With Batch Arrival

ZHUChunpeng

(School of Mathematical Physics, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou Jiangsu 221111, China)

This paper relates to a retrial queuing model with unreliable server and batch arrivals. When customers arrive at the server which is busy, the new arrivals will enter the retry group to continue to search for a service or leave the system. We assumed that the server may fail while providing service and must be repaired immediately. We research the queue size by using supplementary variables methods corresponding to service time, repair time and retrial time. We also present the ergodic condition for the system to be stable and derive analytical results for the stationary distribution as well as some performance measures of the system.

batch arrival; retrial; repairable; supplementary variables; steady-state

2016-09-20

国家自然科学基金数学天元基金项目“KAM理论中光滑性问题的研究”(11526177)；2014年江苏省高校自然科学基金项目“树指标随机过程的极限理论及其应用”(14KJB110025))；徐州工程学院青年教师科研项目“基于排队论方法优化物流运输的研究”(XKY2012302)

朱春鹏(1982 — )，男，讲师，研究方向为排队论。

O226

A

1673-1980(2016)06-0104-04