周咏梅

统计与概率是中考数学的必考内容，通常以填空题、选择题、解答题等形式呈现，主要考查同学们对数据的收集和处理能力，对统计图的绘制和阅读能力.近几年的中考数学试题中，统计与概率类问题多作为重要的知识点进行考查，立意新颖，与生活实际联系密切，需要引起大家高度的重视，下面结合近几年的中考题对这一章的知识进行分类评析.

一、统计的合理性

1.样本的合理性

在进行数据的收集、整理、描述、分析时，首先需要抽取一个合理的样本，才能根据样本的情况估计总体的情况，解决这类问题的关键是要体会收集数据结果的不确定性，理解抽样的必要性和样本抽取的合理性，才能根据样本合理推断总体的情况.

例1 （2015·山东淄博）下列调查，样本具有代表性的是（ ）.

A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查

B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查

D.了解观众对所看电影的评价情况，对座位号是奇数号的观众进行调查

【分析】A.选取某班男同学作为样本进行调查，太局限，不具代表性、广泛性，故A错误；

B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；

D.了解观众对所看电影的评价情况，对座位号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确.

【点评】从局部情况推断整体的情况是统计学的一个基本思想，此题主要考查样本抽取的合理性.判断的依据是样本抽取必须是随机的，对各个层次的对象都要有所体现，要达到一定的容量，样本才具有代表性.

2.预测的合理性

统计类中考题中常常综合运用条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数直方图等给出信息，我们要利用分析得出的数据对总体进行合理预测或建议.

例2 （2016·湖南岳阳）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）统计表中m= ，n= .扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %；

（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天；

（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议.

【分析】（1）由A占25%，即可求得m=80×25%=20，继而求得n=80-20-44-4-2-2=8，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比：[4480]×100%=55%.故答案为：20，8，55.

（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解，估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天）.

（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等.

【点评】本题由频数分布表、频数直方图得出每一项的具体数据，由扇形统计图可以看出各项所占的比例，利用统计图获取信息时，必须仔细观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断，解决相关的问题.

二、规则的公平性

概率与我们的生活息息相关，概率模型可以帮助我们作估计、做决定，解释一些现象，澄清日常生活中的一些错误认识，解决这类问题的关键是把一些生活中的实际问题转化为概率模型，运用概率知识去解决问题.

例3 （2016·江苏苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同.

（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；

（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率.

【分析】（1）随机地从布袋中摸出一个小球共有3种等可能结果，摸到标有数字2的小球只有1种可能，所以摸出的球为标有数字2的小球的概率为[13]；

（2）先画树状图列出共有9种等可能的结果，然后根据概率公式求解.

画树状图得：

共有9种等可能的结果，点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数有6种，所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率=[69]=[23].

【点评】本题主要考查了用列表法或画树状图法求事件的概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能结果，当完成两步或两步以上的事件时适宜选用画树状图法，当完成不超过两步且可能结果数较多的事件时，适宜选用列表法.本题用到的知识点有坐标与图形性质、列表法与树状图法、概率公式.

例4 （2016·江苏泰州）一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0、1、2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜.

（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；

（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由.

【分析】（1）第一次甲随机摸球一次有3种等可能结果，因为甲摸球后不放回，第二次乙摸有2种等可能结果，

列举所有可能结果：

（2）游戏不公平，由表格可以看出共有6种等可能结果，和为奇数有4种，和为偶数有2种，甲获胜的概率=[13]，乙获胜的概率=[23]，

乙获胜的可能性大，所以游戏规则不公平.

【点评】判断游戏是否公平的关键是计算每个事件发生的概率是否相等，通过列表法或画树状图法得出每个事件的概率，相等就公平，不相等就不公平.

同学们，上面我们列举了中考中一些典型的统计和概率问题，只要各位同学熟悉教材中的几个统计量，合理抽取样本，会建立合适的概率模型并进行正确计算，一定能解释生活中的一些概率问题.

（作者单位：江苏省盐城中学教育集团（中校区）初中部）