李冬冬，刘汉东，王忠福，段素真

(华北水利水电大学 岩土工程与水工结构研究所，郑州 450011)

确定概率临界滑面的简化方法

李冬冬，刘汉东，王忠福，段素真

(华北水利水电大学 岩土工程与水工结构研究所，郑州 450011)

在对边坡进行可靠度分析时，通常选择强度参数均值对应的确定性临界滑面或最小可靠度指标对应的概率临界滑面作为计算滑面，前者为确定性滑面上的可靠度指标，并非最小可靠度指标，后者作为边坡体系可靠度的近似，更接近于边坡的实际破坏概率。Hassan和Wolff提出的概率临界滑面计算方法，基于强度参数的特定组合，进行几次稳定性计算确定最小可靠度指标对应滑面，简便易行，无需专用的可靠度分析软件。为证明该方法的有效性，将其运用到简单均质土坡与非均质土坡算例中，并将工程中常用的正交设计运用到可靠度计算中，进行对比分析。结果显示：2个算例均表明最小可靠度指标对应的滑面与参数组合中最小安全系数对应的滑面相一致。因此，在工程应用中，可以采用该方法确定最小可靠度指标对应滑面。

边坡稳定性；可靠度分析；确定性临界滑面；概率临界滑面；FLAC3D；Rosenblueth法

1 研究背景

安全系数作为边坡稳定性分析的传统评价指标，是通过在计算过程中采用定值参数的确定性方法得到的，然而由于岩土体的复杂性与不确定性，单一安全系数无法定量考虑岩土参数的空间变异性与参数之间的相关性[1]。此外，力学参数的随机性是岩土体的核心特征，有限的室内试验并不能反映岩土参数的空间离散性。因此，将安全系数作为边坡稳定性分析的单一指标不够稳妥。

随着可靠度理论引入到岩土工程领域，边坡工程界开始接受不确定性的概念，将确定性分析方法与可靠度分析方法结合起来分析边坡的稳定性。常用的可靠度分析方法有一次二阶矩法、概率矩点估计法、响应面法、Monte-Carlo(MC)法、随机有限元法以及其他一些衍生方法[2-3]。许多国家和学术机构也在编制有关岩土工程风险分析的规范，在美国风险分析已经被大坝设计委员会广泛接受，在香港、法国等地，边坡稳定分析和评价中风险分析也起着重要的决策作用[4]。吴振君等[5]用拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling，LHS)方法代替MC法的随机抽样，考虑边坡参数的变异性和相关性进行边坡可靠度分析，讨论了LHS法、MC法中可靠指标的各种计算方法，建议以破坏概率、安全系数均值和标准差作为评价指标。罗文强等[6]介绍了Rosenblueth点估计方法的基本原理及在斜坡稳定性概率评价中的应用，给出了斜坡的安全系数、可靠度指标和破坏概率，并以岩村滑坡为例进行了计算，结果与实际相吻合。李典庆等[7]提出分析相关非正态变量可靠度计算问题的随机响应面法，采用Nataf变换成功地解决输入变量相关时随机响应面法的配点问题及可靠度计算问题，并以岩质边坡平面滑动破坏模式为例证明了随机响应面法在边坡可靠度分析中的有效性。陈欣等[8]将MC法融入到有限差分法中，并对岩体力学参数(黏聚力、内摩擦角)服从正态分布的某简单边坡进行了可靠性评价。姜彤[9]以某边坡工程为例，通过拉丁超立方抽样技术对影响边坡稳定的几个重要因素输入不同的统计分布概率模型，采用MC模拟法计算边坡的可靠度指标，分析了岩土工程中常用各参数的统计分布概型对可靠度的影响。

然而，上述各方法在进行可靠度计算时均需进行繁琐的计算或需具备较高的数学与计算机水平，在实际工程中，如何通过简单有效的方法选择滑面进行可靠度分析具有重要意义。基于Hassan和Wolff[10]提出的确定概率临界滑面方法，通过FLAC3D强度折减法确定滑面位置，采用Rosenblueth法进行可靠度分析。该方法简单易行，便于工程技术人员掌握应用。在对该方法进行介绍的基础上，通过2个算例对其可行性与有效性进行了验证。

2 概率临界滑面的确定

在对边坡进行可靠度分析时，边坡有无限多个潜在的滑动面，并且边坡沿任何一个潜在滑动面发生滑动都意味着边坡的失稳，因此应将边坡破坏作为一个体系来看。为了简化分析过程，通常在某个确定的滑面上进行可靠度计算，如最小可靠度指标对应的概率临界滑面、强度参数均值对应的确定性临界滑面等。然而，根据众多学者的研究，上述2种临界滑面并不总是一致[10-12]。目前，在概率临界滑面上进行可靠度计算是国内外学者广泛接受的一种方法。

实际应用中如何快速准确地找到概率临界滑面是进行可靠度分析的关键。Hassan和Wolff[10]提出了一种搜索最小可靠度指标对应的概率临界滑面的简单方法，现把方法简介如下。

(1) 输入参数的规律组合：将其中1个参数调到均值减去或加上m倍标准差，其他参数保持均值不变，这样如果有n个参数，就有n种组合。分别计算每个参数组合对应的安全系数及滑面。

(2) 在上一步计算得到的滑面上，计算滑面上的可靠度指标。

(3)在步骤1得到的滑面中，安全系数最小的滑面也是可靠度指标最小的滑面。

他们对m的取值进行了研究，发现当m>1.0时可靠度指标的量值恒定，因此建议取m为1.0。

3 可靠度指标的确定

MC法中随机抽样的可靠性和样本数目的大小对失效概率的精度影响较大，一次二阶矩法则需要通过多次迭代求解。Rosenblueth法根据一定的原则由随机变量的均值和标准差计算可靠度指标，无需知道随机变量的分布形式，是一种十分简单的计算方法[12]，并且相关研究[6, 12]对该方法的可靠性进行了验证。因此本文选用Rosenblueth法进行可靠度计算。

下面以包含2个随机变量的功能函数为例说明Rosenblueth法的计算过程。

定义功能函数为g(x1,x2)，则它的一阶矩E(g)、二阶矩E(g2)的计算公式分别为：

E(g)=P++g+++P+-g+-+P-+g-++P--g--,

(1)

(2)

式中：g为随机变量x1,x2的目标函数。

其中：

(3)

(4)

式中：ρij为随机变量xi与xj的相关系数；uxi为变量xi的均值；σxi为变量xi的标准差。

根据一、二阶矩，Rosenblueth法的可靠度指标β计算公式为

(5)

对于只有2个随机变量的问题，只需要计算4次安全系数就可以确定可靠度指标，当随机变量个数为n时，其计算过程可参考相关文献[12]。

边坡的稳定性分析采用FLAC3D强度折减法。当边坡达到临界失稳状态时，必然是其一部分岩土体相对另一部分发生无限制的滑移，并且强度折减法得到的边坡临界状态的位移图(图1)显示[13]，滑体上各点的位移包括2部分：单元的变形和潜在滑体的滑动。当边坡处于临界破坏状态时，第2部分引起的节点位移远大于第1部分[13]。因此，本文采用边坡的位移等值线确定滑面位置。

图1 验算点位移等值线[13](c=33.6 kPa，φ=17°，γ=2 kN/m 3)Fig.1 Contours of displacement of checking points (c=33.6 kPa，φ=17°，γ=2 kN/m 3)

4 算例分析

4.1 算例1

首先以文献[13]中均质边坡为例(如图1所示)进行可靠度分析。为减小边界条件对结果的影响，坡脚到左侧边界距离为30 m，坡顶到右侧边界距离为55 m，坡脚下部的深度取20 m。在可靠度分析中，弹性模量E=10 MPa，泊松比0.3，抗拉强度10 kPa。滑坡体材料的强度参数黏聚力c，内摩擦角φ及重度γ按随机变量来处理，并假定c,φ,γ统计上相互独立且分别服从N(μc,σc)和N(μφ,σφ)，N(μγ,σγ)的正态分布。参数的统计特性见表1。

表1 边坡土体强度参数

图2为各参数组合对应的滑面、安全系数FSi及可靠度指标βi。滑面2对应的安全系数为1.008，为各参数组合中的最小值，对应的可靠度指标0.75亦为最小值。即，最小安全系数对应的滑面与最小可靠度指标对应滑面一致。因此，Hassan和Wolff提出的方法可用于确定最小可靠度指标对应的临界滑面。此外滑面1为强度参数均值对应的确定性临界滑面，从图2中可以看出，对于均质边坡，该滑面与概率临界滑面较为接近。

图2 算例1计算断面及结果Fig.2 Section and computed results of case 1

正交设计[14]是工程上常用的试验设计方法，在边坡敏感性分析中应用较广，本文尝试采用此种方法进行边坡可靠度分析，并将计算结果与模拟结果进行对比分析。正交设计表采用L9(34)，考虑重度γ，黏聚力c，内摩擦角φ3个因素，水平为μ,μ±σ(μ为均值，σ为标准差)。计算滑面选择图2中的概率临界滑面，计算结果见表2。假定安全系数服从正态分布，根据表2中的计算结果，由式(5)计算可得，参数均值对应的确定性临界滑面可靠度指标为0.91，概率临界滑面可靠度指标为0.73，与根据Hassan和Wolff提出的方法计算得到的最小可靠度指标较为吻合。

4.2 算例2

此处应用Hassan和Wolff在文献[10]中所采用的1个双层土坡。土层1高为9.4 m，土层2高为6.1 m，边坡坡比为1∶2。边坡模型如图3所示。土体强度参数的统计特性见表3(μ为均值，V为变异系数)。鉴于边坡可靠度对重度并不敏感，本文取值为19 kN/m3。弹性模量E=10 MPa，泊松比为0.3。

表2 正交设计结果

Table 2 Results of orthogonal design

设计方案c/kPaφ/(°)γ/(kN·m-3)FS1FS2133．615．324．50．9350．925233．617．025．00．9830．975333．618．725．51．0321．015442．015．325．01．0361．007542．017．025．51．0821．058642．018．724．51．1621．138750．415．325．51．1331．095850．417．024．51．2161．178950．418．725．01．2611．226

注：其中安全系数FS1为参数均值对应临界滑面情况下得到的结果，FS2为在概率临界滑面上计算得到的结果。

图3 算例2计算断面

Fig.3 Section of case 2

表3 边坡土体强度参数统计特性

Table 3 Statistic characteristics of strength parameters of soil slope

工况土层1土层2μc1/kPaV(c1)μφ1/(°)V(φ1)μc2/kPaV(c2)μφ2/(°)V(φ2)A38．310．20—23．940．2120．1B38．310．40—38．310．20—C38．310．40—47．880．40—D23．940．4120．147．880．40—

在进行稳定性计算时，根据薛雷等[15]对非均质边坡强度折减法折减范围的研究结果，对整个模型都进行折减，采用算例1中的方法确定滑面位置。

图4给出了各工况中每个滑面对应的安全系数和可靠度指标。由图4中的结果可知，再次验证了本文所介绍方法的可行性，即参数组合中最小安全系数对应的滑面与最小可靠度指标对应的滑面相一致。对于该非均质土坡来说，确定性临界滑面和概率临界滑面相差较大。此外本文与文献[10]中所得滑面位置和形状有一定差异，这可能是由于文献[10]采用的是基于圆弧滑面的极限平衡法，而算例中边坡的临界滑面并非理想圆弧。

图4 各工况计算结果Fig．4 Computedresultofeachcase

5 结 论

通过2个算例，对Hassan和Wolff提出的确定最小可靠度指标对应滑面的计算方法的有效性进行了验证，得出如下结论：

(1) 该方法可以使工程技术人员在实践中通过现有的确定性边坡稳定计算程序进行几次简单计算就可得到最小可靠度指标及其对应的概率临界滑面，无需专用的可靠度计算软件。

(2) 均质边坡和非均质边坡的算例表明，最小可靠度指标对应的概率临界滑面即为参数组合中最小安全系数对应的滑面；均质边坡中概率临界滑面与确定性临界滑面非常接近，且可靠度指标相差较小；非均质边坡中2种滑面及其相应的可靠度指标则相差较大。因此在实际工程中仅对确定性临界滑面进行可靠度计算是不合理的。

[1] CHRISTIAN J. Geotechnical Engineering Reliability: How Well Do We Know What We Are Doing?[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2004，130(10)：985-1003.

[2] 刘汉东. 水电工程岩质高边坡安全度标准研究[J]. 华北水利水电学院学报，1998，19(1)：40-44.

[3] 王四巍，刘汉东，万林海. 矿山边坡安全度标准的研究[J]. 华北水利水电学院学报，2004，25(1)：54-57.

[4] 张贵金，徐卫亚. 岩土工程风险分析及应用综述[J]. 岩土力学，2005，26(9):1508-1516.

[5] 吴振君，王水林，葛修润. LHS方法在边坡可靠度分析中的应用[J]. 岩土力学，2010，31(4):1047-1054.

[6] 罗文强，龚 珏. Rosenblueth方法在斜坡稳定性概率评价中的应用[J]. 岩石力学与工程学报，2003，22(2):232-235.

[7] 李典庆，周创兵，陈益峰，等. 边坡可靠度分析的随机响应面法及程序实现[J]. 岩石力学与工程学报，2010，29(8):1513-1523.

[8] 陈 欣，付建军，赵海斌，等.有限差分强度折减法中融合蒙特卡洛思想的边坡可靠性分析[J].长江科学院院报，2011，28(4):36-40.

[9] 姜 彤. 边坡在地震力作用下的加卸载响应规律与非线性稳定分析[D].北京: 中国地震局地质研究所，2004.

[10]HASSAN A M，WOLFF T F. Search Algorithm for Minimum Reliability Index of Earth Slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，1999，125(4):301-308.

[11]El-RAMLY H，MORGENSTERN N，CRUDEN D. Probabilistic Slope Stability Analysis for Practice[J]. Canadian Geotechnical Journal,2002,39(3):665-683.

[12]陈祖煜.土质边坡稳定分析——原理·方法·程序[M].北京: 中国水利水电出版社，2003.

[13]孙书伟，林 杭，任连伟. FLAC3D在岩土工程中的应用[M].北京：中国水利水电出版社， 2011:438.

[14]刘汉东.边坡失稳定时预报理论与方法[M].郑州: 黄河水利出版社，1996.

[15]薛 雷，孙 强，秦四清，等. 非均质边坡强度折减法折减范围研究[J]. 岩土工程学报， 2011，33(2):275-280.

(编辑：罗 娟)

Simplified Method for the Determination ofCritical Probabilistic Slip Surface

LI Dong-dong，LIU Han-dong，WANG Zhong-fu，DUAN Su-zhen

(Insitute of Geotechnical Engineering and Hydraulic Structure Engineering,North China University of Water Conservancy and Hydroelectric Power, Zhengzhou 450011,China)

In probabilistic slope stability analysis, the selection of slip surface for calculation usually varies fromcritical deterministic surface to critical probabilistic surface. The reliability index for the former is not the minimum based on a deterministic surface, the latter is closer to the actual failure probability as a similarity to reliability of the slope system. In this paper, a technique put forward by Hassan and Wolff for the determination of slip surface with the minimum reliability index is presented. The critical probabilistic surface could be simply determined by several stability calculations according to specific combinations of soil parameters, which requires no special programs. The method’s validity is examined by two cases including simple homogeneous and heterogeneous soil slopes. Besides, the orthogonal design is applied to slope stability analysis for comparison. The results show that the critical probabilistic slip surface corresponding to the minimum reliability index conforms well with the surface corresponding to a minimum safety factor according to the combinations of soil parameters. Therefore, the critical probabilistic slip surface could be determined by this method in engineering applications.

slope stability; slope reliability analysis; critical deterministic slip surface; critical probabilistic slip surface; FLAC3D; Rosenblueth method

2015-09-09；

2015-10-14

水利部公益性行业科研专项(201301034)

李冬冬(1989-)，男，河南漯河人，硕士研究生，主要从事边坡稳定性分析方面的研究，(电话)13938400450(电子信箱)13938400450@163.com。

10.11988/ckyyb.20150757

2016,33(12):68-71，77

P642.22

A

1001-5485(2016)12-0068-04