朱 峰， 黄 巍

(西南交通大学 电气工程学院， 四川 成都 610031)

带电柱面外电场分布的一题四解

朱 峰， 黄 巍

(西南交通大学 电气工程学院， 四川 成都 610031)

训练与提高学生运用数学分析解决问题的能力是“电磁场”课程最重要的环节之一。对于带电柱面求解外域场分布这样一道典型例题，本文给出四种基于不同数学角度的求解渠道。利用的数学涵盖了微分、积分以及复变函数等，同时又能从物理的角度洞察数学，这对教师的实际教学也具有一定参考价值。

电场分布；带电柱面；唯一性定理；复变函数

0 引言

“电磁场”是强电类的一门重要的专业基础课，求解场分布一直是本课程教学的重要内容之一。现有的相关教材中，往往为了阐明一个内容，给出一种分析[1-3]；若综合考虑，将一个问题，通过多角度进行分析，这样对学生能力的提高更有裨益[4-6]。文献[7]的三种解法对学生理解高频辐射具有很强的启发意义。

教学不仅要使学生掌握物理知识，同时还应该提高他们综合运用数学的能力。基于上述理念，对于求解带电柱面外域场分布这样一道典型例题，本文给出四种基于不同数学角度的求解渠道，它们分别为①直接求解法；②积分求解法；③微分求解法；④等效求解法。

通过该题的求解，“举一反四”，达到灵活综合运用数学的目的，也可供教师教学参考[4]。

1 问题的提出

如图1所示，设电荷均匀分布于半径为ρ0的无限长圆柱表面，面密度为σ0，试求柱外任意点的电场分布。

图1 带电柱面

2 一题四解

2.1 直接法求解

对于已知电荷分布，最简单和直接的方法就是根据面电荷分布计算场强，公式为

(1)

(2)

由于无限长线积分，在z方向上下对称，相互抵消，积分结果为零，上式可进一步写为

(3)

令z-z′=t，则

其中，a代表非零常数。对无穷积分限而言，变换后积分上下限不受影响，所以有

(4)

由于只是二维情形，如图2所示。

图2 场点(x,y)和源点(x′,y′)的位置关系

利用柱坐标表达更便于求解，所以有

(5)

为便于式(5)的积分，可以利用高等数学中的留数定理，记z=eiθ，故有

(6)

(8)

(9)

同理，有

(10)

(11)

根据式(7)、式(9)和式(11)，把p替换为ρ′/ρ，对式(5)进行进一步的化简：

(12)

故：式(12)可化为

(13)

所以：

(14)

从以上的推导可以看出，尽管使用直接法对柱外电场分布进行求解很复杂，但能够体现数学运用能力。

2.2 积分方程法求解

积分法本质上是高斯定律，以场点所在的位置围绕轴线做高斯面，如图1所示，由于对称性，电场强度的方向一定沿径向指向外，高斯面上场强幅度相同。从而我们通过高斯定律进行求解。

设圆柱外任一点距离z轴长度为ρ，高斯面的高度为l，可以得到：

(15)

(16)

该结果与直接法所得的结果式(14)完全一致。

2.3 微分方程+边界法求解法

由于柱外无电荷分布，所以

▽2φ=0

(17)

(18)

代入得

(19)

所以

(20)

和

(21)

可见，利用微分方程+边界条件方法所得结果式(21)与直接法式(14)、积分法式(16)的结果完全一致。

2.4 等效法求解

该处电位用φ′表示

(22)

上式中G为待定常数，与零电位的选取有关，可假设柱壳处电位为零，则G=0；在柱壳表面外法向处的电位移向量的法向

(23)

3 结语

本文通过使用四种不同的数学方法求解同一个问题，能使学生更好地体会到数学方法的本质，拓展学生理解数学、灵活运用数学分析工程电磁场的能力。尽管本文是围绕电磁场问题展开的，但该方法对“电路分析”、“信号与系统”以及其他电气类课程均有很好的借鉴意义。

[1] 冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论[M].北京：高等教育出版社.2010.

[2] 雷银照.电磁场[M].北京：高等教育出版社.2008.

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[4] 朱峰，魏天彩.静电场中导体镜像与介质镜像的统一[J]. 南京: 电气电子教学学报. 2012.2. 34(1):102-104.

[5] 朱峰，杨晓铖.基于能量守恒定律的载流体内自感分析[J]. 南京: 电气电子教学学报. 2013.2. 35(1):17-19.

[6] 朱峰，杨抗.基于时变电荷源计算空间电磁场的严格推导[J]. 南京: 电气电子教学学报. 2014.8. 36(6):9-13.

[7] 王泽忠，李亚莎2单元辐射子电场强度的三种推导南京[J]. 南京:电气电子教学学报2008.8(S1):52-54.

Solve One Problem with Four Solutions about Electric Field Distribution of Electrified Cylinders

ZHU Feng, HUANG Wei

(SchoolofElectricalEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China)

The training and improving the ability of students to use mathematical analysis to solve the problem is the most important part of Electromagnetic Field course. For a typical example of electrified cylinders solving outland distribution, this paper provides four channels which are based on different mathematical angles. Due to the mathematics which is used by paper covers the differential , integral calculus, complex function and so on, can also insight into math from the perspective of physical at the same time, which has an excellent reference value for the actual teaching of teachers.

electric field distribution ;charged cylinder; uniqueness theorem; complex variable function

2015-06-09;

2015-09- 23

朱 峰(1963-)，男，博士，教授，主要从事电磁理论、电磁兼容以及计算电磁学等的教学与研究工作，E-mail:zhufeng@ swjtu.cn 黄 巍(1995-)，男，本科生，研究方向是电磁场、电力牵引等，E-mail:897712633@qq.com

TM12

A

1008-0686(2016)02-0063-04