刁素兰, 曾 鹏, 吴红英

(1.广州大学 数学与信息科学学院， 广东 广州 510006; 2.怀化学院 数学系, 湖南 怀化 418008)

部分跟踪与传递性

刁素兰1, 曾 鹏1, 吴红英2

(1.广州大学 数学与信息科学学院， 广东 广州 510006; 2.怀化学院 数学系, 湖南 怀化 418008)

跟踪性质; 遍历伪轨; 平均伪轨; syndetic传递

0 引 言

设(X,f)是一个拓扑动力系统(简称动力系统),是指(X,ρ)是一个紧致度量空间,其中ρ表示X上的一个度量,f:X→X是一个连续满射. 跟踪性质在动力系统中扮演着重要的角色.1980年,BLANK[1-2]引进了平均跟踪性质的概念并证明了某些摄动双曲系统具有平均跟踪性质. 自从平均跟踪的概念问世以来,平均跟踪性质受到了较多学者的关注[3-7],并且有越来越多新的跟踪概念出现[5,8-9].

这时,也称点z,ε-平均跟踪ξ.

NIU[7]证明，若映射f有平均跟踪性质且极小点稠密,则f是syndetic传递的.

1 预备知识

设(X,f)是一个动力系统.U,V⊂X,记N(U,V)={i∈Z+:U∩f-i(V)≠φ}.设点x∈X和非空开集U⊂X,记N(x,U)={i∈Z+:fi(x)∈U}.称映射f是传递的,是指对任意2个非空开集U,V⊂X,有N(U,V)≠φ.称映射f是syndetic传递的,是指对任意2个非空开集U,V⊂X,N(U,V)是syndetic的. 称点x∈X是f的一个极小点,是指对X的任意一个开邻域U,N(x,U)是syndetic的.f的全体极小点组成的集记为AP(f).

d({i∈Z+:ρ(f(xi),xi+1)<δ})=1.

还需要下面的引理.

2 主要结果的证明

引理2[12]设(X,f)是一个动力系统.如果映射f是传递的并且极小点稠密,则f是syndetic传递的.

证明 不失一般性,设diamX=1.设U,V是X中的2个非空开集.选取x∈AP(f)∩U,y∈AP(f)∩V,取ε>0,满足B(x,ε)∈U,B(y,ε)∈V.由于x,y是极小点,则N(x,B(x,ε)),N(y,B(y,ε))是syndetic的.记N1,N2分别是它们的最大间距,令N=N1+N2.由于f是一致连续的,则存在0<δ<ε,满足当ρ(u,v)<δ时, 对任意n∈{0,1,…,N},有

(1)d(M)=0;

其中,M1={0,1,2,…,m1}∪{m2,m2+1,…,m3}∪{m4,m4+1,…,m5}∪…;

其中,m1=1,m2=m1+1,…,mi=mi-1+1.

令ξ1=x,f(x),…,fm1(x);

ξ2=y,f(y),…,fm2-m1(y);

ξ3=x,f(x),…,fm3-m2(x);

ξ4=y,f(y),…,fm4-m3(y)

…

由于x,y是极小点,存在k,l∈{0,1,…,N-1},使得

由于f的一致连续性,有

因而

fr+k(z)∈B(x,ε),fs+l(z)∈B(y,ε).

故

fr+k(z)∈B(x,ε)∩f-[(s+l)-(r+k)](B(y,ε))≠Ø.

因而f是传递的.由引理2知,f是syndetic传递的.

证明 不失一般性,设diamX=1.设U,V是X中的2个非空开集.选取x∈AP(f)∩U,y∈AP(f)∩V,取ε>0,满足B(x,ε)∈U,B(y,ε)∈V.由于x,y是极小点,则N(x,B(x,ε)),N(y,B(y,ε))是syndetic的.记N1,N2分别是它们的最大间距,令l=N1+N2.由于f是一致连续的,则存在0<δ<ε,满足当ρ(u,v)<δ时,对任意n∈{0,1,…,l},有

η1=x,f(x),…,f2N-1(x);

η2=y,f(y),…,f2N-1(y).

由于x,y是极小点,存在k,m∈{0,1,…,l-1},使得

因为f是一致连续的,因此有

从而

fi1+k(z)∈B(x,ε),fi2+m(z)∈B(y,ε).

所以

fi1+k(z)∈B(x,ε)∩f-[(i2+m)-(i1+k)](B(y,ε))≠Ø.

因此f是传递的. 根据引理2,f是syndetic传递的.

3 结 语

[1] BLANK M L.Metric properties ofε-trajectories of dynamical systems with stochastic be-havior[J]. Ergod Theory Dynam Syst, 1988, 8(3):365-378.

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【责任编辑： 周 全】

Partial shadowing property and transitivity

DIAOSu-lan1,ZENGPeng1,WUHong-ying2

(1. School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University， Guangzhou 510006， China；2. Department of Mathematics, Huaihua University，Huaihua 418008， China)

shadowing property; ergodic pseudo-orbit; average pseudo-orbit; syndetic transitive

2015-12-01;

2015-12-23

刁素兰(1990-)，女，硕士研究生. E-mail：diaosulan168@163.com.

1671- 4229(2016)05-0031-04

O 189.11

A

汪火云, 曾鹏. 平均伪轨的部分跟踪[J]. 中国科学, 2016:

10.1360/N012014-00256.