王军毅

摘要：数学分类思想作为初中数学教学过程中的重要组成部分之一，其思维模式不仅有助于提高初中数学教学质量，对学生的探究思维能力及数学学习能力同样有着尤为重要的促进作用. 随着素质教育的改革和推进，数学分类思想作为广大教育者的重要研究课题受到了很大的重视，并且其在初中数学教学中被广泛使用. 本文从数学分类思想的含义着手，就其在实际教学中的应用重要性进行分析并提出相应的渗透策略.

关键词：数学分类思想；初中数学；渗透

分类思想是学生进行数学思维的必备思想。素质教育要培养面向未来的合格人才，在创造中学会学习，具有创新意识，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

有理数有理数

为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1，比较a与-a的大小，易得a的错误，导致错误在于没有注意到数a可表示不同类的数。而对数a进行分类讨论，既可得到正确的解答：

a0 时 ， a；0 时， ； 时，

2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类。学习一元二次方程，根的判别式时，对于变形后的方程。用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。

例2、解关于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。

当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x>

当，a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式右边=-1

因为0-1，所以不等式的解是一切实数。

当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x<

3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如直线和圆的位置关系，根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。例如：在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

例3、已知函救y=（m-1）+（m-2）x-1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m-1=0 和 m-10 两种情况来研究解决问题。

解：当m=l 时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当 m1 时，函数是二次函数y=（m-1）+（m-2）x-1

当△=+4（m-1）=0，得 m=0.

抛物线 y=--2x-1，的顶点（-1，0）在x轴上

例4、 函数 y = - + - + - x +1，求证：y 的值恒为正数。

分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。

证明：⑴ 当x ≤0时

∵- - x ≥0 ，∴ y≥1恒成立；

⑵ 当0 < x <1时

y = + （ -） + -） +（1-x）

∵ > ， >， 1> x

∴ y > 0 成立；

⑶ 当x = 1 时， y = 1 > 0 成立；

⑷ 当x >1时

y = -） + -） + - x ） + 1

∵> ，>，> x

∴ y > 1成立

综上可知，y > 0 成立。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献

[1] 刘阳平.概念图的初中数学探究式复习课中的应用[J].教育导刊（上半月），2014（4）.

[2] 董连春，曹一鸣，胡琴竹，等.初中数学合作学习中教师干预的案例研究[J].教育学术月刊，2013（6）.