焦晶晶

【摘要】本文利用向量法和坐标法证明Ceva定理，并进一步推广，使其也适用于过三角形三顶点的三线交点在三角形外这种情况，并且予以证明，最后我们利用Ceva定理解决三线共点问题.

【关键词】Ceva定理；向量法；坐标法；线共点

一、引言

线共点问题在解析几何中是比较常见，也是比较难的一类问题，对于解决这类问题的方法有很多种，例如向量法、坐标法、解析法等等.本文介绍另外一种方法——应用Ceva定理来证明.

Ceva定理是由意大利水利工程师、数学家Giovanni Ceva提出的，并且于1678年发表在《直线论》中.Ceva定理是关于过三角形的三个顶点的三条直线位置关系的一个定理，它在证明三线共点方面有着非常重要是作用，尤其是应用在关于三角形中三条中线共点、三条高共点等问题上是非常简单方便的.虽然在解析几何中没有介绍，但是我们做题或看一些资料的时候会有所接触，因此本文就此定理和他的应用做一简单的介绍.

我们在证明Ceva定理时需要用到下面的定理：

定理在平面上三条直li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）共点的充要条件是A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0.

二、Ceva定理

Ceva定理：如图1，在△ABC的三边AB，BC，CA上有三点P，Q，R，使得APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，则AQ，BR，CP三线共点的充要条件是λμγ=1.

这里要注意一下Ceva定理中的线段为有向.

分析Ceva定理内容是关于三线共点的，而证明三线共点方法有很多种，比如先设两线交与一点再证第三条直线过其交点，或证三条直线都过共同的一点或利用向量法来证明等等.在这里我们利用向量法和坐标法来证，首先看向量法，我们让AQ，BR两条直线交于一点O1，让AQ，CP两条直线交于一点O2，证明O1，O2两点重合即AO1=AO2.其次对于坐标法，我们把平面上的线共点问题转换为在放射坐标系下的点的坐标、直线度方程的计算问题.对于这两种方法来说，第二种方法思路简洁，方法直观，学生更容易掌握.下面我们就用这种两种方法来证明.

证明方法一：

设AQ，BR交于点O1，AQ，CP交于点O2，AB=e1，AC=e2，并且由条可知λ，γ，μ都不为-1，

∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，

∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，

即AP=λλ+1AB，BQ=μμ+1BC，CR=γγ+1CA.

∵AO1=nAQ=nAB+BQ=n（AB+μμ+1BC）

=n[AB+μμ+1（AC-AB）]=nμ+1AB+nμμ+1AC，BO1

=mBR=m（BC+CR）=mAC-AB+γγ+1CA

=mγ+1AC-mAB.

又∵AB=AO1+O1B，

∴AB=nμ+1AB+nμμ+1AC-mγ+1AC+mAB.

即nμ+1+m-1AB+（nμμ+1-mγ+1）AC=0.

由于AB，AC不共线，

所以nμ+1+m-1=0nμμ+1-mγ+1=0，解得n=μ+1μ+1+μrm=μ+μγμ+1+μγ，

∴AO1=1μ+1+μγAB+μμ+1+μγAC.

同理可知AO2=pμ+1AB+pμμ+1AC，

CO2=λqλ+1AB-qAC.

∵AC=AO2+O2C，

∴AC=pμ+1AB+pμμ+1AC-λqλ+1AB+qAC，

即pμ+1-λpλ+1AB+pμμ+1+q-1AC=0.

由于AB，AC不共线，

所以pμμ+1+q-1=0pμ+1-λqλ+1=0，解得q=λ+1λ+1+λμp=λ+λμλ+1+λμ，

∴AO2=λλ+1+λμAB+λμλ+1+λμAC.

若AQ，BR，CP三线交于一点时，则AO1=AO2，

即λλ+1+λμ=1μ+1+μγλμλ+1+λμ=μμ+1+μγ.

可得λμγ=1；

若当λμγ=1时，可得到AO1=AO2，则AQ，BR，CP三线交于一点因此，AQ，BR，CP线共点λμγ=1.定理得证.

方法二：建立放射坐标系{A；AB，AC}，

则A（0，0），B（1，0），C（0，1），

∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，

∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，

即AP=λλ+1AB，AR=1γ+1AC，BQ=μμ+1BC，

∴AP=AB+BQ=AB+μμ+1BC=AB+μμ+1（AC-AB）=1μ+1AB+μμ+1AC，

∴Pλλ+1，0，Q1μ+1，μμ+1，R0，1γ+1，

即线段AQ，BR，CP所在直线方程分别为：μx-y=0；x+（γ+1）y-1=0；（λ+1）x+λy-λ=0.

∴μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=-λμ（γ+1）+λ+1+λμ-λ=-λμγ+1.

由定理1可知，若AQ，BR，CP三线共点，

即μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=0，则λμγ=1；

若λμγ=1，即μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=0，则AQ，BR，CP三线共点.

因此，AQ，BR，CP三线共点λμγ=1.定理证毕.

三、Ceva定理的推广

Ceva定理只是研究了O点在三角形内的任意位置，却没有研究O点在三角形三边所在直线上、三角形外且不在三边所在直线上的这两种情况.

下面就这两种情况，我们进行讨论.

首先，我们讨论交点在三角形外且不在三边所在直线上的情况.

命题1如图2，在△ABC外取一点O，O点不在三边的延长线上，连接AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，则λμγ=1.

证明建立仿射坐标系{A；AB，AC}，

则A（0，0），B（1，0），C（0，1），

因为BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，

所以AE=1μ+1AC，AF=γγ-1AB，

AD=AB+BD=AB+λλ-1BC=AB+λλ-1（AC-AB）=-1λ-1AB+λλ-1AC，

即D-1λ-1，λλ-1，E0，1μ+1，Fγγ-1，0，

那么，线段AD，BE，CF所在直线方程分别为：λx+y=0，x+（μ+1）y-1=0，（γ-1）x+γy-γ=0.

因为AD，BE，CF三线交于O点，由定理1可知

λ101μ+1-1γ-1γ-γ=0，即λμγ=1.

由命题1可知当交点在三角形外且不在三边所在直线上时，三线交三边线段的比例值之积等于1（如BDDC·CEEA·AFFB=1）是成立的.那么，对于它的逆命题是否成立呢？也就是说，在△ABC的AC上取一点E，在BA，BC的延长线上分别取点F、D，使得BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，连接BE、CF、AD，若λμγ=1，则BE、CF、AD三线交于一点，这个命题是否正确.显然对这个命题是正确的，它的证明过程和命题1的证明过程是相似的，它利用了定理1的充分条件得到结论，我们在这里就不再重复了.

这样我们就得到一个定理：

定理2如图2，在△ABC的AC上取一点E，在BA，BC的延长线上分别取点F、D，使得BDDC=λ，CEEA=μ，AFFB=γ，连接BE、CF、AD，则BE、CF、AD三线交于一点的充要条件为λμγ=1.

定理2的证明就是整合命题1和它的逆命题的证明的，在这就不详述了.

定理2把Ceva定理进一步的推广了，也就是说过三角形三个顶点的三线交点可以在三角形的外边.在这里我们有一特殊情况，就是交点O与一顶点的连线平行于该顶点的对边（如图3）.那么我们就有下面一个定理.

定理3如图3，在△ABC的AC上取一点E，在BA的延长线取点F，连接CF，在CF上取一点O，使得AO//BC，并且CEEA=μ，AFFB=γ，则CF、BE交于点O的充要条件为μγ=1.

证明由于AO//BC，则AFFB=AOBC，AOBC=AEEC，

所以有AFFB=AEEC，得AFFB·CEEA=1，

即μγ=1连接BO，交AC与E′，

由于AO∥BC，则AFFB=AOBC，AOBC=AE′E′C，所以有AFFB=AE′E′C，

又由于μγ=1，即CEEA·AFFB=1，则点E、点E′重合，

即CF、BE交于点O.

综合上述，CF、BE交于点O的充要条件为μγ=1.

其次，我们讨论交点在三角形三边所在直线上的情况.

命题2如图4，在△ABC的BC边上任取一点O，则ACOB·COBA≠1.

证明假设ACOB·COBA=1，即COOB=BAAC，而O点是任取的，即O点在BC边上移动，所以COOB≠BAAC，与假设矛盾，所以结论正确.

说明：（1）当交点在三角形三边的延长线上，命题2也是正确的（如图5）.

（2）命题2的逆命题不一定成立.

因此，由上面讨论的得到的两个命题和定理可知道，Ceva定理适用于交点在三角形内或三角形外，而对于交点在三角形三边所在直线上的情形就不再适用了.

四、Ceva定理的应用

前面几节，我们对Ceva定理做了一定的了解，并对它进行了推广.在这一节中，我们就Ceva定理在线共点问题上的应用举例说明.

例1证明三角形的三中线共点.

证明如图6，在△ABC内AD，BE，CF为中线，

即AFFB=1，BDDC=1，CEEA=1，所以AFFB·BDDC·CEEA=1.

由Ceva定理可知AD，BE，CF三中线交于一点.

例2证明三角形三条高交于一点.

证明如图7，在△ABC内AE，BF，CD为三角形的三条高，

由于CDAD=tgA，CDDB=tgB，AEBE=tgB，AEEC=tgC，BFCF=tgC，FBFA=tgA，

所以ADDB=tgBtgA，，BEEC=tgCtgB，CFFA=tgAtgC，

即ADDB·BEEC·CFFA=tgBtgA·tgCtgB·tgAtgC=1，

由Ceva定理可知三角形的三条高AE，BF，CD交于一点.

例3证明三角形的三条角平分线交于一点.

证明如图8，AN，BP，CM分别为△ABC的三条角平分线，

由角平分线的性质可知AMMB=ACCB，BNNC=ABAC，CPPC=BCBA，

所以AMMB·BNNC·CPPC=ACCB·ABAC·BCBA=1，

由Ceva定理可知三角形的三条角平分线AN，BP，CM交于一点.

例4证明三角形的一个角的角平线和不相邻的两外交的角平分线共点.

证明如图9，AD为△ABC中∠A的角平分线，CN，BM分别是△ABC两外角∠MCB，∠CBN的角平分线，由角平分线定理和外角平分线定理可知ANNB=ACCB，BDDC=ABAC，MCMA=BCAB，

所以ANNB·BDDC·MCMA=ACCB·ABAC·BCAB=1，有定理2可知，AD，BM，CN三线交于一点.

通过上面几个例题，我们了解用Ceva定理证明三线共点的问题是比较简单方便的，我们学习了Ceva定理后，就有多了一种解决三线共点问题的方法.Ceva定理也有其局限性，它只适应用平面几何，并且是三线分别过三角形三顶点的这种情况，对于其他情况就不能用Ceva定理了.