王春鸽

【摘要】本文对“函数的极值”教学设计在讨论式、探索式教学方面做了较深入的研究，通过观察图形，引导学生经历了概念的抽象、性质的探索和相关数学知识的建构过程，并体验知识在不断提出问题中被发现的喜悦.通过本节课的学习，使学生领悟了局部与整体的辩证关系，从而达到深刻理解并掌握此知识的目的.

【关键词】函数；单调性；极值；极值点

函数的极值是高等数学中的导数应用里一个很重要的内容，对极值概念的理解是学生学习的重要是一环.教学中，教师在讲解极值的概念时，要做到直观，并留给学生足够的思考空间，发挥他们的学习主体作用.本文在教学设计上进行了尝试.

教学方案

活动1：创设问题情境，引入新课

（复习提问）我们应用导数来研究了函数的一种性质——单调性，知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.即

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导.

（1）如果在（a，b）内f′（x）>0，则f（x）在[a，b]上单调增加；

（2）如果在（a，b）内f′（x）<0，则f（x）在[a，b]上单调减少.

现在我们再利用导数这种先进有效的工具，再来研究一下函数的另一种性质——函数的极值.

我们为什么要学习函数的极值这个概念呢？因为我们日常生活中有许多理论和应用问题，需要求函数在某个区间上的最大值和最小值，比如经济学上的最大利润问题、最小成本问题等.要计算函数的最值，我们就要先求函数的极值，所以我们要先研究函数的极值的运算方法.那么函数的极值是怎样定义的呢？

观察下面函数的图像：

提出问题1：通过观察函数的图形，我们对函数值f（x1）与函数f（x）在点x1附近的点对应的函数值进行比较，会有什么结论呢？那么，在x2、x3、x4与x5点处的情况如何呢？

回答：通过观察我们较容易看出，在点x1附近的点对应的函数值f（x）都满足f（x）>f（x1），在x2、x3、x4与x5点处分别为f（x）f（x3），f（x）f（x5）.

讨论：根据观察结果能否用一句话总结，从结论中教师因势利导，提出问题启发学生注意局部与整体的关系，得出极值的定义.

定义1设函数f（x）在点x0的某一邻域U（x0）内有定义，如果对于去心邻域U0（x0）内的任意一点x，都有f（x）f（x0）），则称函数值f（x0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值），x0称为函数f（x）的一个极大值点（或极小值点）.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.

活动2：继续观察图形

提出问题2：极大值一定比极小值大吗，为什么？

回答：极大值不一定比极小值大.图中f（x2）为函数的极大值，f（x5）为函数的极小值，但f（x5）>f（x2），因为极值是局部的概念.

活动3：继续观察图形

提出问题3：极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能得到什么样的结论？

回答：如果函数可导，函数在取得极值的点处切线是水平的，即在这些点处导数为零，这也是我们今天要研究的函数极值点存在的必要条件，即定理1的内容.

定理1（必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则一定有f′（x0）=0.

分析我们知道函数的极值就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零，只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（Fermat）引理的内容.

费马简介：姓名：皮尔·德·费马

生于1601年，法国律师和业余数学家.他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献.被誉为“业余数学家之王”.

对学生进行思想教育：费马的故事告诉我们，在做某件事情的时候，只要努力，就可以做好.所以，我们同学中虽然有很多都是文科生，只要我们努力，也一样能学好数学.

证明（略）

定义2使导数的点称为函数的驻点.

定理1表明：可导函数的极值点必定是驻点.

提出问题4：函数的驻点一定是极值点吗，启发学生如果不是能否举个反例说明？

回答：驻点不一定是极值点，例如函数f（x）=x3的驻点x=0就不是极值点.由这个反例我们知道定理1只是函数极值存在的必要条件，而不充分.

提出问题5：我们还可以看到定理1中要求函数是可导的，那么函数的导数不存在的点可能是极值点吗？如果可以，能否举个例子？

回答：函数的导数不存在的点也可能是极值点，例如函数f（x）=|x|在点x=0处不可导，但是极小值点.

由这两个例子我们知道了函数的可能的极值点有两类：驻点及不可导的点.我们应怎样判断驻点及不可导的点是否为函数的极值点，是极大值点还是极小值点呢？这是我们将要研究的重要问题——函数极值点存在的充分条件.

活动4：继续观察图形

提出问题6：极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化？

回答：通过观察我们知道，如果在驻点及不可导点两侧函数导数的符号相反，则必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点.

这表明，求函数极值点应先找出驻点及不可导点，然后对驻点及不可导点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点.根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道，由此我们得到下面的定理：

定理2（第一充分条件）设函数f（x）在点x0处连续，且在点x0的某一邻域U（x0）（点x0可除外）内具有导数，对于x∈U0（x0），

（1）若当x0，当x>x0，f′（x）<0，则f（x0）是函数f（x）的极大值；

（2）若当xx0，f′（x）>0，则f（x0）是函数f（x）的极小值；

（3）若在x0两侧，f′（x）的符号相同，则f（x0）不是f（x）的极值.

证明（略）

由定理2，我们得出求函数极值的步骤：

（1）写出函数的定义域，求出导数f′（x）；

（2）求出f（x）的全部驻点和不可导点；

（3）根据定理2确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数f（x）的全部极值.

下面我们就根据求极值的步骤，求出函数的极值.

例1求函数f（x）=x3-3x2-9x+5的极值.

解该函数的定义域为（-∞，+∞）.

f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得驻点x1=-1，x2=3.

驻点将定义域分成三部分，现列表讨论如下：

x（-∞，-1）-1（-1，3）3（3，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）↗极大值↘极小值↗

由表可知，函数f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=10；在x=3处取得极小值，极小值为f（3）=-22.

上例是对可导函数而言的，在此条件下，极值点一定是驻点，因此只要求出函数的驻点，再由定理2考察各个驻点是否为极值点就行了.但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值.请看下例：

例2求函数f（x）=1-（x-2）23的极值.

解该函数的定义域为（-∞，+∞）.

当x≠2时，f′（x）=-2313x-2；当x=2时，f′（x）不存在.

当x<2时，f′（x）>0；当x>2时，f′（x）<0，又f（x）在x=2处连续，所以x=2是函数f（x）的极大值点，极大值为f（2）=1.

活动5：课堂练习

课堂小结

通过如上的教学活动，使学生理解了极值的概念，明白了局部与整体的关系，了解了研究探索问题的方法对以后的自主学习有很好的指导意义.