杨甲山， 方 彬

(1.梧州学院 信息与电子工程学院， 广西 梧州 543002;2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室， 广西 梧州 543002;3. 信阳师范学院 数学与信息科学学院， 河南 信阳 464000)



二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振荡性

杨甲山1，2*， 方 彬3

(1.梧州学院 信息与电子工程学院， 广西 梧州 543002;2.梧州学院 复杂系统仿真与智能计算实验室， 广西 梧州 543002;3. 信阳师范学院 数学与信息科学学院， 河南 信阳 464000)

中立型的二阶泛函微分方程的振荡性在理论和应用两方面均有着重要意义. 本文研究一类具可变时滞的二阶广义非线性的Emden-Fowler型中立型泛函微分方程的振荡性，获得了该类方程振荡的1个新的判别准则.

振荡性； Emden-Fowler型微分方程； Riccati变换

1引言及问题的提出

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，

t≥t0，

(1)

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u(这里λ>0， β>0为实常数)；而a，p，q∈C([t0，+∞)，R)；f∈C(R，R)且当u≠0时uf(u)>0，并考虑如下假设条件：

(C1) a∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(C3) 当u≠0时f(u)/u≥L(这里L>0是常数).

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t≥t0)

(E)

是振荡的(这里函数Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，常数k>0). 这是文献[15]的主要结果，也就是文献[15]中的定理2.2. 我们注意到，当β<γ时文献[15]没有得到方程(E)的振荡准则，而且文献[15]中的条件“a′(t)≥0”似乎较为苛刻. 受到以上有关研究的启发，笔者将利用Riccati变换技术及各种有关不等式技巧来研究方程(1)的振荡性，得到了该方程振荡的1个新判别准则，去掉了限制性较强的条件“a′(t)≥0”，拓广了β，λ的取值范围. 而作为方程(1)的特殊情形(即当方程(1)中β=γ=1时的情形)，我们的这些准则改进了现有文献中的一系列结果. 同样，考虑条件

(2)

2方程振荡的判别定理

引理1[24]设X，Y为非负实数，则当0<λ≤1时Xλ+Yλ≥(X+Y)λ，等号成立当且仅当X=Y．

引理2设X，Y为非负实数，则当λ>1时Xλ+Yλ≥21-λ(X+Y)λ，等号成立当且仅当X=Y．

此结果由函数f(x)=xλ(λ>1)的凹凸性即得.

引理3[25]设A>0，B>0和α>0均为常数，则当x>0时，

(3)

引入记号：

定理1设条件(C1)-(C3)及(2)成立，且0≤p(t)≤p0<+∞(这里p0为常数)，如果存在函数φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))使得当λ≤β时

+∞，

(4)

当λ>β时

(5)

证明 反证法，设方程(1)存在一个非振荡解x(t)，不妨设x(t)为最终正解(当x(t)为最终负解时类似可证)，则∃t1≥t0，使得x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥t1. 由z(t)的定义容易看出，z(t)>0且z(t)≥x(t)(t≥t1). 由方程(1)并注意到条件(C1)和(C3)，有

[a(t)φ1(z′(t))]′=-q(t)f(φ2(x(δ(t))))≤

-Lq(t)(x(δ(t)))β<0.

(6)

由(6)式并利用条件(2)，不难推出z′(t)>0(t≥t1). 应用(6)式，当t≥t1时，可得

Lq(τ(t))(x(δ(τ(t))))β≤0，

(7)

综合(6)，(7)两式，当t≥t1时，就有

[a(t)φ1(z′(t))]′+Lq(t)(x(δ(t)))β+

(8)

若0<β≤1，利用τ′(t)≥τ0>0，τ∘δ=δ∘τ和z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))及引理1，由(8)式得到

若β>1，类似地，有

于是

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

(9)

根据γ及β的取值范围，下面分两种情形来讨论：(Ⅰ)λ≤β；(Ⅱ) λ>β.

情形(Ⅰ)：λ≤β.

作广义的Riccati变换w(t)如下：

(……