朱春雷

德国教育心理学家瓦根舍因的范例教学理论认为：要发展学生的能力，就应教给学生基本的知识，即基本概念、基本科学规律或知识结构，也就是所谓的“基本性”，要达到这一目的，就要改革教材，使学生借助精选的材料，与“范例”接触，训练独立思考和判断能力。范例教学主张使学生接受在任何地方严肃认真地行事的自由，以及由此出发以完美的方式找到他通向知识整体的教育通道的自由。由此可见，范例教学在内容和材料的选择上，应当教会学生借助学到的东西，“开始”探索别的东西；让学生了解“什么东西能提供一切”，而不是了解“所有的一切东西”。通过范例教学，学生应当了解，如果人们这样或那样地按照正确的方式探究的话，那么世界会怎样“提供”各种各样的知识。我们必须教的是这种性质的探索和揭示真理的方法，这是打开知识大门的钥匙。这意味着教学将借助例子，通过“典型例子”起到它的最出色的作用。即通过研究树木，来发现森林。

《圆的周长》是苏教版数学五年级下册中的学习内容，也是数学学习的基础内容，因此它的学习具有典型意义。圆的周长的教学目标是，使学生认识圆的周长，认识圆周率叮r，理解和掌握圆的周长计算公式，能应用公式计算圆的周长，解决周长计算的简单实际问题。本课在教学设计和实践中，我运用范例教学，让学生在研究探索的过程中，深人数学学科本质，提升数学能力。

一、设计吸引学生的问题

1.通过例题主题图的说明和演示认识周长

让学生观察自行车车轮，说说知道了什么。（知道了三个车轮直径的长度是66、60、55厘米）启发学生，如果把这三个自行车车轮各滚动一周，想一想，哪一种车轮行驶的路程比较长？（演示滚动过程）通过追问认识圆的周长，车轮滚动一周行驶的路程是车轮什么的长度？车轮的周长是什么图形的周长？（圆一周的长度，是圆的周长）

2.提出问题

引导学生，66厘米的车轮周长为什么会长一些？比较这3个车轮的直径和周长，你有什么发现？追问学生，圆的直径长，周长也长，周长和直径到底有什么关系呢？

当学生在观察车轮滚动的过程中，自然而然地发现并提出周长和直径的关系问题，那么学生将会被这个问题所吸引，并将全神贯注于研究之中。

二、经历推理和探究的过程

出示并说明例题，在图中正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正六边形。引导学生，先观察三个图形，思考哪个周长最长、哪个周长最短；再比较正方形周长、六边形周长和圆的直径的倍数关系，最后想一想圆的周长和直径有什么关系，圆的周长大约是直径的几倍。

整理并说明，正方形周长应该是圆的直径的几倍？六边形呢？说说你怎样比较的。这样比较，能估计出圆的周长大约是直径的几倍吗？图中可以看出，正方形周长是直径的4倍，六边形的周长是直径的3倍，那圆的周长就应该是直径的3倍多。

学生通过数学推理，根据三个图形的周长关系，顺理成章地得出“圆的周长是该圆直径的3倍多”的结论。

三、实践操作验证结论

1.启发思考

要解决圆的周长是直径的多少倍的问题，还可以怎样做呢？（用圆的周长除以直径）

2.实验操作

讨论出测量周长和直径长度的方法后，引导学生进行实验操作，现在我们就通过测量、计算，研究圆的直径和周长的倍数关系。同学们按要求分小组实验，得出数据。

3.交流发现

现在请每个小组来展示你们的测量、计算结果。教师相机调整、引导后提出问题，通过上面的交流，你发现圆的周长和直径有什么关系呢？

教师指出，我们现在发现，一个圆的周长总是直径的3倍多一些。事实上，任何一个圆的周长除以直径的商都是一个固定不变的数，我们把它叫作圆周率。圆周率用字母π表示，π是一个无限不循环小数，π=3.141592653……在计算时，一般取它的近似值3.14。（结合说明，逐步完成板书：圆的周长÷直径=圆周率，π≈3.14）

当学生被数学情境所吸引，自发性地进入到探究结论的操作过程中，此时此刻学生将被思维引领着自己去创造概念。数学概念就是这样从它的根源发生了，学生的认知结构开始逐步形成。这正是范例教学的追求。

四、抽象概括形成公式

1.抽象概括公式

启发学生概括，根据“圆的周长÷直径=圆周率”，想一想：圆的周长可以怎样计算？我们可以发现：圆的周长=直径×圆周率（板书）。如果用字母c表示周长，那么周长C跟直径d有怎样的关系？跟圆的半径r又有什么关系呢？（板书：C=πd，C=2πr）

2.回顾学习过程

引导回顾一下，我们是怎样得出这样一个计算公式的，说说你有什么体会。

我们先观察发现，圆的周长应该是直径的3倍多一些，为了验证这样的想法，我们通过测量、计算，得出圆的周长总是直径的3倍多一些。根据这样的倍数关系，我们推导出了圆的周长计算公式。

五、在应用中提高数学能力

选择典型的习题进行操练是范例教学的内在要求。在练习应用环节，我作了三点安排，一是利用原有例题的材料，让学生去求周长，以达到课前比较的最终要求；二是通过不同的条件让学生去求圆的周长，并归纳求圆的周长的其他公式，从而让范例教学发挥从个别中寻求整体的作用；三是利用圆的周长公式解决实际问题，增强数学的应用性。

1.完成“试一试”

引导学生试着计算例题中三个车轮的周长大约各是多少厘米。再比较一下三个车轮周长的长短。

2.完成“练一练”

让学生独立完成已知圆的直径、半径，求圆的周长的练习。交流时向学生提出问题，你是怎样算的？这里用的是哪一个公式？为什么用这个公式？最后师生共同明确：计算圆的周长，要根据已知条件，正确地选择公式计算。

3.解决实际问题

“已知一辆汽车车轮的直径是60厘米，求它转一周前进多少米？”

学生列式计算。交流时回答，你是怎样算的？为什么求的是车轮的周长？

通过范例教学圆的周长，学生经历了观察、操作、测量、计算和交流、归纳等活动过程，推导出圆的周长计算公式，积累了推导计算公式的学习经验，发展了分析、综合和归纳、概括等思维能力。通过体验图形与生活的联系，感受到平面图形的学习价值；积极参与实验探究，培养了实事求是的科学态度，树立了学习数学的自信心。

真正的学习就是学生与教师同时被一个问题，一道习题所吸引，而这个问题和这道习题将能激发人的智力，对智力提出要求，同时使人体验到精神世界本身固有的规律性。这种学习，犹如真正的游戏一样令人愉快，但又是那么严肃认真。范例教学意味着通过例子、通过典型来达到最佳的效果。数学的学习，我们可以按照这样的路径“提出问题——推理论证——形成概念——演绎扩展——运用中产生新的问题”，科学地实施范例教学，从而实现研究一滴水，发现一片海。