江苏省姜堰中学(225500)

周 鹏●



数形结合，妙解数学难题

江苏省姜堰中学(225500)

周 鹏●

数形结合是一种重要的数学思想，不仅在数学中应用广泛，在其他学科的学习中也是一种十分必要的数学工具，因此老师要尽自己最大的努力教好数形结合的使用方法，给同学们的学习生活带来便利.

高中数学；数形结合；妙解难题

数形结合是一种极其重要的数学思想，它对学生解题能力的提升具有十分重要的意义.数形结合的使用大致可以分为两种情况.一是利用数的精确准确性质来表现形当中的某些特征或属性，这就是用“数”来解释“形”；二是利用形的直观性简洁明了的特征来描述数与数之间的某种特定联系，这就是用“形”来帮助“数”.笔者结合高中数学教学经验，对如何在课堂教学中以及习题训练中锻炼学生的数形结合思想具有一定的研究与探索，下面简要介绍几点心得体会，希望对大家有所帮助.

一、韦恩图解，元素分析

数形结合思想在解决集合问题中的体现就在于韦恩图的使用，而集合问题又是学生最基础的数学知识，所以老师一定十分关注，帮助学生打好高中数学的基础.集合部分的知识点相对较庞杂，题型又较多，涉及到很多典型的问题，并且在历年高考中都有所体现，而解好集合问题大都需要借助韦恩图，所以老师在课堂教学中一定要强化韦恩图的训练，使学生能够轻松拿下基础分.例如，很多同学在习题训练中都做过这样的题目：某个班级有48名同学，每个人至少都要参加一个活动小组，其中参加数理化小组的人数分别是28、25、15，而同时参加数理小组的人数是8人，同时参加数化小组的人数是6人，同时参加理化小组的人数是7人，问同时参加数理化小组的人数是多少？这是一道典型的集合问题，如果仅仅采用数字的方式去求解会显得十分困难，很多学生都会找不到解题思路，但是如果采用韦恩图法来解决，就会觉得十分简单.

二、形中觅数，巧求个数

高中方程在高中数学体系中占据大部分内容，老师可能需要很多的课时才能够将课本上所涉及的知识都讲解透彻，所以大部分老师都会选择通过习题训练强化对基础知识的掌握程度.而对于习题的选择，也需要老师多多留心，尽可能地选择一些具有代表性的题目，让同学能够做到触类旁通.例如，在这部分学习完成之后，我都会向同学们布置这样的任务：求方程lgx-sinx=0的解的个数.这道题通过一般的算术方法是很难求出解的个数的，因此我们就要借助于形的力量.对问题再次分析，这个方程的解的个数就是y=lgx的图象与y=sinx的图象的交点个数，因此只要我们画出规范的图象然后再进行个数查找即可.因为sinx≤1，lgx≤1，所以0≤x≤10.据此，我们可以在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示.

形中觅数，通过观察图象，我们就可以清晰地看出两条曲线的交点为三个，所以本题的答案为3.通过这种方法，根本不需要进行计算就能够将问题解决，是一种十分方便的求解方法，由此也可以看出数形结合思想在解题中的妙处.

三、数中思形，解析不等

四、立体几何，变相分析

立体几何的题型种类繁多，学生在进行高考之前一定都进行过大量的习题训练，都会一定的解题经验.其中有一部分疑难杂题可以利用数形结合的思想来解决，例如，若三棱锥A-BCD的其中一个侧面ABC中存在一个动点P,它到底面BCD的距离与到棱AB的距离是相等的，那么动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是( ).

这道题巧妙地将立体几何与解析几何相联系，属于一道创新题目.对于这种题目我们就可以选择特殊图形来解决，即当AC⊥平面BCD时，那么问题就会得到转化，P到AB的距离和BC的距离相等的点的轨迹，很明显P点的轨迹就是∠ABC的角平分线.如果这道题目出现在高考中并且是选择题目的话，仅仅通过这样的分析就可以确定正确答案是选项D，但是如果出现在平时训练中，老师还要对AC不垂直于平面BCD的一般情况作出讨论，扩大学生的视野.

总之，数形结合思想的应用有很多，老师可以在多个方面进行扩展，使学生对数学的理解更加透彻，从而对数形结合思想有一个正确的认识，形成正确的思维习惯，为解题提供便利.

[1]周涛. 数形结合思想在数学解题中的渗透[J]. 数理化学习(高三版)， 2015(10)

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