孔春香

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)



·数理科学·

带有黏性辐射流体系统解的正则性

孔春香

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

考虑了欧拉坐标下一维黏性辐射流体系统的初始边界值问题，利用能量方法和一些基本不等式来估计解在H4空间中的整体存在性。在这里假设热传导系数的增长指数是非负常数,特别是热传导系数是常数也是成立的。

黏性辐射气体;整体解;先验估计

我们主要考虑通过自身耗散作用的一维可压缩的黏性热传导气体模型的初边值问题。在高温条件下,还要考虑这种气体模型受反作用的干扰和辐射作用的影响。根据动量、能量和质量守恒定律,在欧拉坐标下,这种反作用干扰运动模型表示如下:

ρt+(ρu)x=0,

(1)

ρ(ut+uux)+Px=(νux)x,

(2)

(3)

ρ(zt+uzx)=(dρzx)x-ρφz。

(4)

在高温条件下,压力和内部能量与密度和温度满足下面的关系:

(5)

这里正常数R,Cv,a代表完全气体系数,特殊热量系数,Stefan-Boltzmann常数。

初始条件:

(ρ,u,θ,z)(x,0)=(ρ0,u0,θ0,z0)(x)。

(6)

边界条件:

(u,θx,zx)|x=0=(u,θx,zx)|x=1=0。

(7)

初始条件和边界条件是相容的。

1 结 论

‖(ρtt,utt,θtt,ztt)(t)‖2+

‖(ρt,ut,θt,zt)(t)‖L2(0,T;H2(Ω))≤C。

2 局部解和先验估计

局部解的存在性文献[6]已给出,本节的主要任务是通过能量方法建立解的先验估计,从而完成解的整体存在性的证明。

则对任意固定的时间T>0,初始边界值问题(1)-(7)存在唯一的整体解

(ρ,u,θ,z)∈[0,1]×[0,T]满足

‖(ρt,ut,θt,zt)(t)‖L2(0,T;H1(Ω))≤C,

C-1≤ρ(x,t),θ(x,t)≤

C,0≤z(x,t)≤1,

‖(u,ρ,θ,z)(t)‖W1,∞(0,T;[0,1])+

‖ρt‖L∞(0,T;[0,1])≤C。

引理2 在定理1的假设下,对∀t>0,下面估计式成立

证 明 由方程(2)关于t求导得

νuxxt=ρutt+ρtut+ρtuux+ρutux+ρuuxt+Pxt。

(8)

式(8)两边乘以utt,在[0,1]上积分,利用引理1, Sobolev不等式,Cauchy不等式得

取ε非常小，于是有

根据引理1和Gronwall′s不等式,完成了引理2的证明。

引理3 在定理1的假设下,对∀t>0,下面估计式成……