许金注

在数学世界里，你会发现数学的美妙千变万化，称之为“数学美”.在浩瀚无垠的数学题海里，下面要说的这道题淋漓尽致地诠释了它的美妙.

一、原型题目

如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC.请说明理由.

题目分析：本题出自华东师大版八年级上册“全等三角形的判定”课后作业的一道习题.它是学生在学习了三角形全等的判定的基础上给出的一道题目，意在考查学生对三角形全等的判定的掌握程度.有哪些方法判定三角形全等，三角形全等必须具备哪些条件，如何寻找三角形全等的条件等，都是解决本题的关键.

设计意图：本题意在考查学生基础知识和基本技能的掌握程度.

解题思路：题目中已知AP=PC，且AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，可以得出∠B=∠D=90°，再寻找一个条件便可以证明三角形全等，利用两个角互余证明角相等是常用的一种方法，于是第三组条件不难找到.下面对题目进行变式.

二、拓展变化

变式之前，先让学生分析其特点，从特殊到一般.数学教学中要引导学生探索数学问题的解题方法，运用数学转化思想渗透解题思想.

1.结论的变化与拓展

问题的提出：从题目所给的信息中，你还能发现其他结论吗？

变化一：如图2，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，并证明你的猜想.

题目分析：由题目条件出发，不难证明△ABP≌△PDC，从而可以得出AB=PD，CD=BP，于是BD=AB+CD.但本题的设计比原型题证明三角形全等的难度大得多.首先学生应该综合分析题目中图形之间的内在联系，通过猜想三条线段之间的数量关系，从而寻找图中相等的线段，于是通过证明三角形全等解决这个问题.

变化二：如图3，已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线L的同侧，分别过这两点作L的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明.

解题说明：若点E恰为这段圆弧的圆心，同样可以知道∠AED=90°，题目自然可以转化为变式一的形式解决.从图形运动中找出规律，转化为一般几何证明问题，探究解决新问题的策略，培养学生思维的灵活性.

再探究：如图4，当A、D分别在直线L两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明.

设计理念：（1）经历观察、猜想到验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解决问题的能力.

（2）让题设条件与图形“动”起来，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯“开放”与“探究”的思维.

解题思路：教学中引导学生从不同角度、不同知识、不同思想方法思考同一个问题，能使各个层次学生都达到一定的效果，使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式解决问题，培养学生思维开阔性、发散性和灵活性的目的.

2.弱化条件

弱化“直角”，则“全等三角形”结论仍然成立.

如图5，△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC≌△CDE.

解题思路：无论如何变换，本质是三个角相等，应用三角形相似（全等）解决.

设计意图：通过本题拓展，我们应该教会学生善于思考，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，获得广泛的数学经验.

3.条件和结论的互逆变换

例：如图6，两个全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接EM，EC，试判断△CME的形状，并说明理由.

设计意图：本问设计意图是引导学生认真观察图形，深入挖掘隐含的条件和结论，寻找知识点之间的联系、转化，激发学生积极思考、主动探索，调动学生学习积极性，同时培养学生提出问题的能力，可以更好地分析题意.培养学生观察、分析、概括、归纳及语言表达能力.

解题指导：本题主要利用三角形全等的判定进行证明、求解.

具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解、一题多变、多题组合，引导学生探索数学问题的规律性和方法，达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正达到“轻负高效质”，对激发学生学习兴趣，培养学生创造性思维、创新能力和数学素质，都将起到积极的推动作用.