张朝相， 艾小川， 黄开林， 马迪生

(1. 中国石油天然气股份有限公司 吐哈油田分公司， 四川 成都 610081；2. 海军工程大学 理学院， 湖北 武汉 430033；3. 四川永能油气技术开发有限公司， 四川 成都 610017；4. 中国石油天然气股份有限公司 西南油气田分公司， 四川 成都 610255)



费马大定理的初等证明方法

张朝相1， 艾小川2， 黄开林3， 马迪生4

(1. 中国石油天然气股份有限公司 吐哈油田分公司， 四川 成都 610081；2. 海军工程大学 理学院， 湖北 武汉 430033；3. 四川永能油气技术开发有限公司， 四川 成都 610017；4. 中国石油天然气股份有限公司 西南油气田分公司， 四川 成都 610255)

给出不定方程Xn+Yn=Zn在n为奇素数时，无正整数解的初等证明方法，即用初等数学方法证明了费马大定理.通过实例分析，结果显示文中证明方法的正确.

费马大定理； 初等数学方法； 因式分解； 多项式互素

1 预备知识

费马大定理也称“费马猜想”，是十七世纪法国数学家费马提出的，他认为：一整数3次幂不能表为两个整数的同次幂之和；一个整数4次幂不能表为两个整数的同次幂之和；一般地讲，当n>2，一个整数的n次幂表为两个整数的同次幂之和，这是不可能的.即对于Xn+Yn=Zn，当n>2时，不定方程无全正整数解.

“费马猜想”包含两层意义：1) 当p(p为任意奇素数)时，X，Y，Z中一定有一个不为整数；2) 当n=4p时，出现两个方程，(Xp)4+(Yp)4=(Zp)4，(X4)p+(Y4)p=(Z4)p，若X，Y为正整数，必须首先是Zp，Z4不为整数，而后得Z不为整数.因此，只要证明当n=4，n=p时，Z不为整数即可.以前有种观点，只要证明n=4的“费马猜想”成立，随之n=4p的“费马猜想”也成立， 这是概念上的错误[1].

“费马猜想”被提出后，经无数人辨证，先后证得n=3，n=4，n=5，n=7，以及一些有限数时费马大定理成立.最终，在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯所证明.但怀尔斯的证明高深冗长.费马在提出猜想的同时又说，他有一个绝妙的证明方法，只是“边页太小，写不下了”.他的证明到底是个怎样的证明，至今仍是一个谜.但可以肯定，费马处于当时的数学发展水平，他的证明肯定不是类似怀尔斯的证明，而是一个较为初等的方法[2].

在怀尔斯的证明之后，世界上仍有不少数学志士为此而着迷，极具代表性的是美国数学家科林·迈克拉蒂.2003年，他称有比怀尔斯的更简单的方法，并先后在美国和加拿大的数学报告会上发表，取得极大的进展.但他使用近代的“群论”思想，这与费马所称的方法仍是相去甚远[3].

2 费马定理的证明

2.1 对Z进行因式分解

令n为任意奇素数k，当k≥3时，有

(1)

设式(1)有一组正整数解X0，Y0，Z0，且Z0是最小的正整数解，则式(1)变换为

(2)

2.2Z0的求解

Z因式分解后，求解Z0，由于有

(3)

上式右端共(k+1)+1=k+2项，经移项并消项可得

(4)

1) 第1项为

2) 第2项为

3) 第k-2项为

4) 第k-1项为

2.3 引理及其证明

引理1 自然数集合中任意相邻两数a和b，若ai=a+i，bi=b-i，ai+1=a+(i+1)，bi+1=b-(i+1)，则存在关系式[aibi-ai+1bi+1]为等差数列(i=0，1，2，3，…)，且ab>aibi> ai+1bi+1，ab为最大值.

证明：参见参考文献[1].

引理3 am-1=(a-1)(am-1+am-2+…+1) ；若 a≡1(modmk)， mk|a-1，因为a≡1(modm)，所以 am-1+am-2+…+1≡m≡0(modm)， 也就有m|am-1+am-2+…+1， 因此mk+1|am-1， 即 am≡ 1(modmk+1)，k>0 ， m≥3的奇素数.

证明:参见参考文献[1].

推论1 am-1=(a-1)(am-1+am-2+…+1 ) ；若am-1+am-2+…+1≡m≡0(modm)；m|am-1+am-2+…+1； 因为am-1+am-2+…+1≡0(modm)； 所以m|a-1，即m2|am-1，am≡1(modm2).

注1 引理和推论不同，引理有mk+1|am-1，k≥1，而推论仅有m2|am-1，m≥3的奇素数[4-8].

证明:参见参考文献[1].

2.4 实例证明

实例1 证明1： 假设d0=1，X0，Y0为一偶一奇，或同为奇数，引入(-1)e(e=1，2，3，…，k-1)e是y0的幂指数，则有

(5)

将X0=X1，Y0=Y1代入上式，并两端同减1可得

(6)

证明2：当d0=k时，有

(7)

(8)

(9)

(10)

上式两端同减2k-1后，再同除以2k-1,可得

(11)

费马定理表明：am-1≡1(modm)； (a，m)=1； 若 a=bm， 则为 (bm-1)m≡1(modm2)

根据对费马定理的解释，式(11)中(2k-1-1)只能是2k-1≡1(modk1)，即k|2k-1-1 ；2k-1-1=kC2(C2是2k-1-1除以k 的倍数)，(k， C2)=1 .则式(11)可变换为

(12)

设上式中括号内代数和为∑C1，则式(12)可改为

(13)

(14)

k2b3=ka3， b3=a3/k.

实例2 假设Z0为偶数， X0，Y0为奇数，Z01为偶数，则有

(15)

将X1，Y1代入式(2)可得

(16)

(17)

上式两端同减1，右端提取公因数(kk-1)2，可得

(18)

设中括号内代数和为∑C3，则有

(19)

(20)

因为(k，∑C3)=1，所以b4为既约分数.

(21)

同前面的分析一样，可以证明Z02为无理数，Z0为无理数，Z0无最小正整数解和正整数解.

3 结论

上面已证明 Xk+Yk=Zk无全正整数解，若将n进行素因数分解，则有

[1] 陈梅香.响应率法求解二阶部分极点配置问题[J].华侨大学学报(自然科学版)，2015，36(1):107-110.doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2015.01.0107.

[2] 饶世麟，饶雪芳.一个猜想与费马大定理[J].装备指挥技术学院学报，2010，21(6):128-130.

[3] 李宏棋.费马大定理的初等证明[J].西安工程大学学报，2008，22(5):650-662.

[4] 饶世麟，饶雪梅，饶雪芳,等.费马大定理的一种证明方法[J].电子科技，2011，24(6):11-12，22.

[5] 星河，李萌.费马大定理： 求证历程[J].知识就是力量，2012(1):74-75.

[6] 王志兰.费马小定理的几种证法及应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版)，2009，9(6):11-13.

[7] 吴延东.符号动力系统与费马小定理[J].大学数学，2009，25(5):120-123.

[8] 袁合才，辛艳辉.费马大定理巧妙证明的注记[J].高等继续教育学报，2010，23(4):13，25.

[9] 刘向晖.高斯和希尔伯特在费马大定理上的不同认识[J].西北大学学报(自然科学版)，2000，30(2):176-180.

[10] 刘文忠,孙艳春,张同杰.对一个费马大定理证明的分析[J].北京师范大学学报(自然科学版),2013,49(5):462-465.

[11] 杨孝斌,袁梓瀚.关于n次费马解通解的探究与证明[J].湖南科技大学学报(自然科学版),2016,31(2):117-121.

[12] 田枫,黄秦安.数学证明严格性之相对意义与综合评判标准[J].自然辩证法通讯,2016,38(1):51-55.

[13] 史仲夏.用初等数学方法证明费马大定理[J].数学学习与研究,2015(15):127-128.

(责任编辑： 黄晓楠 英文审校： 黄心中)

Elementary Proof of Fermat Theorem

ZHANG Chaoxiang1， AI Xiaochuan2，HUANG Kailin3， MA Disheng4

(1. Tuha Oilfield Company， China National Petroleum Corporation， Chengdu 610081， China；2. College of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033， China；3. Sichuan Yongneng Petroleum Technology Development Limited Company， Chengdu 610017， China；4. Southwest Oil and Gasfield Company， China National Petroleum Corporation， Chengdu 610255， Chian)

In this paper， an elementary proof method is given for the indefinite equation，Xn+Yn=Zn， which has no positive integer solution when n is an odd prime number， namely， it proves Fermat theorem with an elementary mathematical method. In addition， an example analysis is also given， and the results show that the proof method is correct.

Fermat theorem； elementary mathematical method； factorization； relatively prime of polynomials

10.11830/ISSN.1000-5013.201606026

2016-11-06

张朝相(1942-)，男，高级工程师，主要从事数论的研究.E-mail:zhangchaoxiang99@sohu.com.

四川省杰出青年科研基金资助项目(2011JQ0055)

O 156.1

A

1000-5013(2016)06-0786-05