☉江苏省如皋市第二中学　丁　聪

从学生解题误区谈教学有效性

☉江苏省如皋市第二中学丁聪

众所周知，数学解题教学是数学教学的重要组成部分．可以这么说，对于大部分学生而言，解题教学关乎其数学学习成绩的水平，直接影响其应试的结果．北师大刘绍学教授在基础教育是否过于注重解题时谈到了他的想法：“数学不能完全依赖解题，但是就我所知现阶段数学教学离开解题是无法实现的．”我们不太可能要求一个中学生去理解、参悟数学形式化背后的更深的本质，因为他除了数学还有很多其他学科，因此解题依旧是学好数学的最直接体现．

笔者以为，从最直观的感受来说，数学解题的好坏、有效将大大影响学生对于数学学习的积极性．除此之外，对于学生而言，诸如，数学美、文化美等依旧是边缘性地影响学生的数学成绩．从当下数学解题教学的一线来看，笔者认为学生在解数学问题时存在着下列误区，笔者结合案例来进行分析和说明，以期对于解题教学的有效性有一些思考．

一、误区一——基础水平的训练

基础知识和基本技能是数学知识薄弱的学生常常犯错的地方，这使不少学生无法得到有效的进步，这与审题、运算、公式等基本有关．比如：审题类错误主要反映出学生数学概念理解的缺失，审题或解题过程中对防范易错点的意识不够，特殊情境下数学概念的迁移不到位，如对平面向量这个区别于数量的特殊工具的本质理解不到位，导致向量运算出现类似代数化的方式；计算类错误常犯顾此失彼的错误，说明学生的基本计算能力有待加强等．

图1

例1如图1，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积V= __________．

分析：三视图是高考必考的知识点，本题简洁清晰．由三视图回归直观图对部分基础薄弱的学生而言是困难的，本题的几何体较为规则，难度适中，但学生的解题误区却恰恰在此．笔者建议教学中可做一变式：“（正视图中加上一条虚线对角线）某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积V=__________．”这里的基本水平恰是基本空间想象能力的体现．

分析：历年来的本省高考对二项式定理的考查从来不涉及第几项的问题，一个原因也许是第几项并不是二项式定理的核心问题，而且是否知道第几项并不影响二项式定理的理解；另一个原因可能是第几项的二项式系数实际上是比较容易弄错的，在这种问题上让懂的学生犯错并不是考查的目的．如果从与高考试题对比的角度来看，本问题的设计是可以修改的．当然在平时教学中教师也会强调展开式第几项的问题，这样的考查也很合理．这种错误也要求教学中注重二项式系数和系数的对比区分，这是学生往往比较容易犯错的误区所在．

教学有效性建议：基础知识环节的巩固有很多种做法，比较有效的手段依旧是采用下列方式：（1）高效的双基变式解题教学训练，这种方式对于学生双基提高是比较有效的；（2）基本试题一定量的训练必不可少．

二、误区二——整合能力的不足

数学能力不强，对于中学生而言，这里的数学能力其实是知识整合能力的体现．比如说，解决一个综合性问题，往往既需要函数知识，也需要向量知识，这种知识的整合使用是学生解题往往不足之处．又比如，空间几何题中空间想象能力的欠缺、创新情境等价转化为常见题型的能力不够，说明学生平时的学习太依赖老师的讲评，缺少自己处理一定难度问题的经验，坐等讲评，以至于数学运算能力、推理论证能力和数学语言表达能力的发展都没有达到预期．

例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac．

（1）求B的值；

说明：三角函数解答题是高考较为中档的问题，这种问题往往结合三角形中的正余弦定理、面积公式、基本不等式等，这样的问题对于学生而言并不是难点．但是对于将知识整合到一系列问题中学生是否可以避免误区，带来解题高效，是教师解题教学设计的重点．

说明：通过整合题组训练，我们将关于某几个知识点的数学知识教学进行了有效、高效的设计，这有助于数学教学有效性的提高．

三、误区三——思想方法的缺失

数学思想方法掌握不佳是解题误区存在的最深刻的弊病，很多学生在解决更为困难的试题时往往出现思路缺失，而问题的解答恰恰又需要正确的思想方法作为引导．如求函数值域时定义域、单调性的忽视，空间向量方法应用时建系依据的忽视；概率问题中分类讨论思想应用没有做到分类有依据、不重不漏等，说明学生运用数学思想的意识不强，重要的数学思想方法不熟练，对既定解题步骤的来龙去脉不清楚，只会模仿，不会迁移，对情境的变换不敏感的同时又缺少反思，对条件的重组、融合、推进意识不够．

例4已知向量a，b满足|a|=|b|=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，求|b-c|最小值．

分析：向量的小题更多以图形本质的要求作为考查，而这种考查是数形结合思想的体现．若对条件分析可知，向量a，b满足夹角60°，而由（a-c）·（b-2c）=（a-c）·可知（a-c）这样问题就围绕向量a，b，c建构图形解决．

图2

解：如图2，设OA=a，OB=b，OC= c，D为线段OB中点，则由题意可知（a-即∠ACD=90°，可知点C的轨迹是以Q为圆心，以AD为直径的圆上的点．又|b-问题转化为定点B与圆上动点C的最值．至此，问题已到达学生能认知的模式，|b-c|的最小值为BQ-r．给出计算：又因为OQ=其最大值也可以一并求解．

说明：对于本题，笔者曾经让学生做过尝试，大多数学生是将条件（a-c）·（b-2c）=0进行展开，然后利用数量积基本公式进行分析，使得解题陷入大量的运算之中，而无法突破．教学引导学生走出解题的误区，要给予思想方法上的引导，比如图形化思想极为重要．本题中，向量条件中更要关注垂直知识点的转化，关注向量夹角，并结合有效信息建构合理的图形，将问题转化为圆外定点到圆上动点的距离问题．

总之，解题误区的三个层次是教学需要关注的，教师要更为高效地做一些解题教学的设计，让学生在误区中尽可能走出来，这些设计有助于数学解题教学的有效性和高效性，值得我们思考．

1.吴成海.数学试题创新应着力于思维培养［J］.中学数学（上），2013（8）.

2.王建鹏.一道试题的析题展示［J］.福建中学数学，2013（9）.