☉江苏省常熟市浒浦高级中学　殷伟康

基于函数观点的“数列的概念”教学实践与思考

☉江苏省常熟市浒浦高级中学殷伟康

《普通高中数学课程标准》中明确指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解．由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例到抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.”因此，高中数学概念教学中无论是课堂教学的流程设计，还是问题的设置都要尽可能返璞归真，也就是说要讲清概念是怎么来的，怎样定义的，为什么这样定义，而且要顺应学生的认知规律和思维水平.通过探究，让学生体验概念的产生，经历概念的形成、生成过程，在参与探究和建构概念过程中，逐步认识和理解数学概念的本质.以“数列的概念”为例，阐述运用函数观点来研读教材，进行概念教学的设计、实践和思考.

一、从函数角度研读“数列的概念”教材内容

“数列的概念”是苏教版《数学》（必修5）第2章“数列”的起始课，数列是继函数的基本概念、性质和几个连续的具体函数之后，学习的一类新型、离散型的函数模型，是函数的基本概念、性质的进一步深化与运用．因此，教师要从函数角度准确地把握教材设计意图，并潜心研读“数列的概念”教材内容，才能更好地为实现创造性地使用教材做好铺垫.教材上，通过生产、生活中常见的情境问题发现数列，从而来阐述数列的重要性，激发学生学习的兴趣和热情，具体安排是：通过对座位、彗星出现的年份、细胞分裂和奥运会获得金牌数目的统计实例引发学生思考这些问题有何共同特点？激发学生自主探究，尝试归纳出数列定义，数列实际上就是按照一定顺序排列着的一列数.然后编者又从函数的角度出发，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数.通过数列的列表、图像、通项公式等几种简单表示法，让学生进一步体会数列是一种函数，是刻画离散过程的一种重要数学模型.如果按教材编写的内容进行照本宣科，将结论直接告知给学生，然后快速切换到“数列概念的运用”，这样的教学过程，学生难免对“数列是一种特殊的函数”感到“突兀”.本节课的重点是揭示数列与函数之间的内在联系，数列是一种特殊的函数，本质上数列是以正自然数集或它的有限子集为定义域的“离散型”函数，数列的通项公式则是相应的函数解析式.基于以上的认识，笔者提出了尝试运用函数观点来进行“数列的概念”教学的设想与实践.

二、从函数角度设计“数列的概念”教学方案

1.创设情境，观察归纳，建构概念

情境1某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为：20，22，24，26，28，….

情境2正偶数从小到大排列依次为：2，4，6，8，10，….

情境3某种细胞，如果每个细胞每小时分裂为2个，那么每过1小时，1个细胞分裂的个数依次为：1，2，4，8，16，….

情境4常熟市2015年2月16日至20日的全天最低气温（单位：摄氏度）依次是：1.1，-1.2，2.3，-0.4，-0.8.

情境5从1984年到2012年我国共参加了8次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15，5，16，28，32，51，38.

问题1：从数学角度观察思考以上问题有什么特点？

问题2：从数的角度分析它们有何共同特点？如何表述？

设计意图：通过现实生活中的数列模型，让学生在贴近生活的实际问题中探索新知，体验数学是生动的、源于生活的.其次，通过观察思考所给问题中各组数字的共同特点，感悟数列是按照一定次序排列的，让学生用语言来表达对数列概念的直观认识、理解、体验，从而概括出数列概念——按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）．

2.辨析探究，揭示本质，理解概念

问题3：1，2，6，8，10是数列吗？10，8，6，2，1是数列吗？它们是同一数列吗？

问题4：1，－1，1，－1，1，－1，…是数列吗？为什么？

问题5：数列与我们学过的哪一个数学概念很像？它们一样吗？能总结出二者之间的区别吗？

问题6：（追问）数列不同于数集，最根本的原因是什么？

设计意图：通过以上问题的辨析，使学生理解数列中的数只要求按一定次序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数在数列中可以重复出现．通过交流、辨析，让学生能够更好地掌握数列概念中的关键词，更透彻地理解数列概念．从数列的表示形式上引导学生产生联想（集合、数集），探究数列与数集的区别，通过追问，加深对数列概念的理解.

3.注重关联，合理表征，深化概念

将数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为第2项，…，排在第n位的数称为第n项.所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.

问题7：对于具体数列而言，仅用记号{an}表示，并不能反映该数列的实际内涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如情境3和问题4中的数列，尝试用多种方法表示这两个数列.

学生1：用列表的方法表示情境3中的数列（如表1）.

表1

学生2：用图像的方法表示情境3中的数列（如图1），其中序号n作为横坐标，对应的项an作为纵坐标，描点，即可.

图1

学生3：用式子an=2n－1（n∈N*）表示情境3中的数列.

问题8：分别利用表格、图像、公式表示了同一数列.这三种表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它们之间有什么关系？

问题9：三种表示方法都反映了项与序号的对应关系.这种对应关系有什么特征？

问题10：数列中的每一项与其序号之间形成了一种一一对应关系（如表2），你以前见过类似的情况吗？

表2

问题11：数列是函数吗？你能说出为什么吗？函数的要素是什么？

设计意图：数列中项的序号n与an是逐一对应的，符合函数的最显著的特征——单值对应，由此可猜想数列是函数，显得自然而然、水到渠成.

问题12：类比函数可知，数列{an}中，什么相当于函数的自变量？什么相当于函数的因变量？什么相当于函数的对应法则？数列的“定义域”是什么？“解析式”又是什么？

数列的“定义域”是正整数集N*或它的有限子集{1，2，3，…，k}其中k∈N*.“解析式”就是数列的通项公式.

问题13：如何由函数y=f（x）得到相应的数列？

如果f（i）（i=1，2，3，…）有意义，只要x可以取从1开始的正整数，那么我们就可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

设计意图：引导学生发现数列即函数，建立起数列与函数之间的联系，an=f（n）（n∈N*），即数列是当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，逐步揭示数列是函数的实质，从而将数列概念成功纳入到函数的概念体系中去，深化对数列概念的理解.

问题14：情境3中的数列可以用式子an=2n－1（n∈N*）来表示，这样就可以建立从序号n到an的函数.这种以n为自变量的函数解析式f（n）叫做数列{an}的通项公式，你能给通项公式下个定义吗？

一般地，如果一个数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

问题15：每一个数列都有通项公式吗？若数列有通项公式，则它的通项公式唯一吗？

设计意图：经过学生讨论、交流，因为每天的气温是随机的，所以情境4中的数列没有通项公式；通项公式不唯一，以问题4中的数列为例，其通项公式可以用an=（－1）n－1表示，也可以用分段函数来表示.

问题16：结合情境3和问题4中的数列的图像，说出它们与以往学过的函数图像有何区别？

设计意图：通过观察图像，发现数列的图像是由一群孤立的点组成，而不是连续的曲线，让学生直观感知数列是离散型函数，其离散型的根源是自然数的离散性.通过反思，进一步认识到数列的本质是一种特殊的函数，有利于促进学生思维的发展.

4.数学运用，合理猜想，巩固概念

问题17：写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（3）0，2，0，2．

设计意图：通过“阶梯式”问题的探究，让学生体验、归纳、寻找an与序号n之间的对应关系an=f（n）的方法，整体把握，局部考虑，归纳猜想；合理变形，验证猜想，探求规律.

三`、从函数角度反思“数列的概念”教学过程

李邦河院士说过：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也.”数学概念是数学学科的基石，也是培养学生数学素养的最好载体，为什么要提出这个概念？如何适当地定义概念？这个新概念给我们带来了什么？这些问题也许比概念本身更重要.但是许多教师并不重视概念教学，往往采用“一个定义，几项注意”的教学方式，为了有更多的时间进行解题教学，课堂上概念讲解一带而过，不愿意花时间挖掘隐藏在概念背后的数学文化素材和深刻的数学思想方法，导致学生对概念内涵的了解一知半解.

1.展现背景，让数学概念产生显得自然

人教A版教科书在“主编寄语”中写道：“数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味.”上述教学设计中，突出了数列的函数背景，通过创设具体的实际背景问题，引导学生参与对数列概念的探究、发现、建构过程，让数列概念从学生头脑中自然流淌出来，即让学生充分经历观察、比较、辨析、概括的过程，在认知冲突与解决过程中，建构数列概念.通过数列与数集异同进行辨析，加速对数列概念的内化理解，形成对数列概念的正确认识.引导学生通过对数列进行多种表征（即对问题7的探究），发现数列与函数的联系，猜想数列是函数，进而验证自己的发现，从而逐步揭示数列是函数的实质，让数列自然地融入函数，还其本来面目，使数列概念得以深化，函数概念得以进一步丰富发展.通过对问题11、12的探究，从中自然产生数列通项公式的概念.

2.揭示本质，促进学生对数列概念本质的理解

本节课的重点是数列与函数的关系，而常规做法是教师引导学生分析项与序号的对应特征后，马上得出数列是特殊的函数（值）.这样的教学，实质上仍然是“告诉教学”.笔者认为数列与函数关系的得出过程应该是自然的，即教师要合理地引导学生逐步认识数列的本质是一种特殊的函数.在“注重关联，合理表征，深化概念”教学环节设计中，笔者通过恰当的问题引领，在学生原有的对函数概念理解的基础上，引导学生发现数列是一种特殊的函数，从而建立起数列与函数之间的联系，让学生认识到数列的项是函数值、序号为自变量，以序号为横坐标，对应的项为纵坐标画出的图像是一群孤立的点，从而使学生对数列本质有更清晰的认识和把握.基于函数观点的“数列的概念”教学，把数列的学习研究置放在函数的大背景中，将数列的概念与函数的概念紧密联系在一起，即将数列的概念融入函数的概念之中，有利于将“概念组织为更有层次性、立体化的结构体系”．这种别开生面的概念教学，既能够“从函数观点、模型的观点，连续与离散关系的角度认识数列，突出数列的本质”，又能够“从离散现象认识连续现象”，深化对函数的理解，丰富函数的内涵，更有利于学生从函数角度去考虑数列问题，拓宽解题思路，提升学生的数学素养.

1.陆学政.“多元表征理论”指导下的“数列概念”教学［J］．中学数学教学参考（上），2012（4）．

2.渠东剑.返璞归真自然而然——“数列的概念”教学设计的思考［J］．中学数学杂志（高中版），2011（5）．

3.吴进，殷伟康.问题引领诱发探究促进建构——数列的概念教学实录与反思［J］．中学数学月刊，2015（9）．

4.夏朴.基于问题的探究性学习——“数列的概念及简单表示”教学实录与反思［J］．中学数学月刊，2015（9）．