徐秀斌, 秦 立

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



由特征值和顺序主子阵构造广义Jacobi矩阵的逆特征值问题*

徐秀斌, 秦 立

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

广义Jacobi矩阵；特征值；顺序主子阵；逆特征值问题

0 引 言

本文讨论的广义Jacobi矩阵Gp,q是指具有如下形状的矩阵:

(1)

若所有的bi,ci为实数,则当bi=ci>0时,Gp,q是Jacobi矩阵[1];当bi=ci<0时,Gp,q是负Jacobi矩阵[2-3]，当bi=-ci>0时,Gp,q是广义反Jacobi矩阵[4].

逆特征值问题在粒子物理的核光谱学、结构设计、振动反问题、Sturm-Liouville反问题和数学物理反问题的离散化及结构动力模型的校正等问题中有广泛的应用.这一方面的研究近年来比较活跃,其中之一是对问题DD(problemdoubledimension)的研究[1-3,5-7].

文献[1]证明了:若问题DD的解存在,则其解必唯一;文献[8]提供了一个求解问题DD的算法,但是这种算法需要计算矩阵的所有特征值与其所属的特征向量,这是相当费时的;文献[9]给出了问题DD有解的充分必要条件,但其结果及证明都比较复杂;文献[10]给出了问题DD有解的另一个充分必要条件,并且提供了一个求解问题DD的算法,这个算法不用求解矩阵的所有特征值与其所属的特征向量;文献[4]给出了由特征值和顺序主子阵构造广义反Jacobi矩阵的逆特征值问题的充分必要条件.

1 主要结果

类似于文献[11]中有关结果的证明,可证得引理1～引理4.

引理1

引理2 若1≤k≤2n-1,则

(2)

若k≥2n,则

(3)

式(3)中，E2k,E2k+1分别为其变量的2k,2k+1次齐次多项式.

由推论1和数学归纳法可得

引理4 对k=1,2,…,2n-1,有

(4)

c(2k+1)1=f2k+1+(b1b2…bk)(bmkc(k)k+ak+1c(k)k+1).

(5)

式(4)和式(5)中:

(6)

f2k+1=a1c(2k)1+∑k-1j=1(b1b2…bj)(bmjc(2k-j)j+aj+1c(2k-j)j+1).

(7)

下面给出本文的主要结果.

定理1 问题GDD有解的充分必要条件是

(8)

式(8)中,T1,T2,…,T2n由下式……