朱红焰，岳靖，巩成艳

（安徽理工大学 理学院，淮南 232001）

非线性互补问题的光滑算法

朱红焰，岳靖，巩成艳

（安徽理工大学 理学院，淮南 232001）

基于非线性互补问题（NCP（F））的等价变形，利用Fischer-Burmeister函数的光滑逼近函数将非线性互补问题转化为优化问题。提出了一种求解非线性互补问题的光滑逼近算法，通过构造非线性互补问题的一个新的光滑逼近函数，将非线性互补问题等价地转化为求解光滑方程组问题。在一定条件下证明了该算法的全局收敛性。数值实验结果说明了算法的有效性。

非线性互补问题；光滑逼近算法；全局收敛性

考虑以下非线性互补问题NCP(F):求向量x∈Rn使得

其中F∶Rn→Rn连续可微的P0-函数。

由于其在理论和实际应用上的重要性，近年来，非线性互补问题已经受到了许多研究者的关注。

首先，给出Fischer-Burmeister函数:

求非线性互补问题（1）等价转化为求解以下非线性方程组:

且Φ∶Rn→Rn，它的第i个分量由下面的表达式给出:

Fischer-burmeister函数有很多好的性质，在求解NCP（1）时，一般都以Fischer-Burmeister函数作为 NCP函数，但是Fischer-burmeister函数在(a,b)=(0,0)点是不可微的，给算法的收敛性分析带来困难，于是光滑算法应运而生。

本文构造一个新的光滑NCP函数如下:

对于任意的μ1＞μ≥0，有:

引理1:若Φ(x,μ)，Φ(x)是如上所定义的，则Φμ是Φ的一致光滑逼近函数。通过简单计算得

利用光滑逼近函数，问题可以转化为下面带约束的非线性方程组

显然，当μ＞0时，Φμ(x)是光滑的，且其Jacobi矩阵∇Φμ(x)T为:

其中，Jacobi矩阵的第i个分量为

1 算法

算法1:

其中，η＞0，选取初始点 x0∈Rn和正常数置k∶=0，

若式（13）成立，置λk∶=1，转step5；

Step4 若m是满足下属不等式的最小非负整数