甘胜进, 游文杰

(福建师范大学福清分校 电子与信息工程学院, 福建 福清 350300)



多元响应降维子空间

甘胜进*, 游文杰

(福建师范大学福清分校 电子与信息工程学院, 福建 福清 350300)

提出多元中心K阶条件矩降维子空间,指出与多元中心K阶矩子空间的关系.结合相关文献方法,提出1种新方法估计多元响应降维子空间,给出该方法估计量的相合性与实例模拟.

充分降维子空间; 最小二乘估计; 海塞主方向; 傅里叶变换估计

对于一维响应变量Y和p维解释变量X=(X1,X2,…,Xp)T,考虑它们之间回归问题本质上是讨论在X给定条件下,Y的条件分布FY|X如何随X变化,Li[1]提出切片逆回归(sliced inverse regression,简称SIR),即如果存在p×k(k

(1)

(2)

类似CS讨论,若所有满足(2)的集合的交集仍然满足(2),则称之为中心均值降维子空间(central mean dimension reduction space, 简记CMS),记为SE(Y|X).令Z=Σ-1/2(X-E(X)),则SY|X=Σ-1/2SY|Z[3],其中Σ=D(X)>0.因此以下本文不妨假定E(X)=0,D(X)=Ip.通常估计降维子空间所需的两个基本条件:

1) 线性条件均值.E(X|ηTX)为ηTX线性函数,即E(X|ηTX)=PηX,∀η∈Rp,其中投影阵Pη=η(ηTη)-1ηT.

2) 常数条件方差.Var(X|ηTX)为非随机矩阵,即Var(X|ηTX)=I-Pη.

满足线性条件均值一般要求X是椭圆分布,满足条件常数方差的是多元正态分布.

1 多元中心K阶条件矩子空间

类似一元响应变量讨论,如果把它推广到多维响应变量,那么就是多元响应降维子空间、多元响应均值降维子空间,即

(3)

(4)

其中,X=(X1,X2,…,Xp)T,Y=(Y1,Y2,…,Yq)T.

Yin和Bura[4]提出多元响应中心K阶矩子空间的定义.

(4)′

定理1以下3个命题相互等价.

(ii) Cov[(Y⊗k,E(Y⊗k|X))|ηTX]=0;

(iii) E(Y⊗k|X)是ηTX的函数.

E[Y⊗k(E(Y⊗k|X))T|ηTX]=

E(Y⊗k|ηTX)(E(E(Y⊗k|X)|ηTX))T,

由条件期望平滑性可知,等式左边

E[E(Y⊗kE(Y⊗k|X)T|X)|ηTX]=

E[E(Y⊗k|X)E(Y⊗k|X)T|ηTX],

等式右边第1项

E(Y⊗k|ηTX)=E(E(Y⊗k|X)|ηTX)=

E(E(Y⊗k|X)|ηTX),

故等式整个右边等于

E(E(Y⊗k|X)|ηTX)(E(E(Y⊗k|X)|ηTX))T,

所以

Var(E(Y⊗k|X)|ηTX)=0,

表明给定ηTX,E(Y⊗k|X)是常数,故(iii)成立.

(iii)式表明E(Y⊗k|X)=E(Y⊗k|ηTX),下面定理指出多元中……