孙爱慧

(吉林师范大学数学学院,吉林四平136000)

上三角矩阵代数上的Jordan 全可导点

孙爱慧

(吉林师范大学数学学院,吉林四平136000)

Zhao和Zhu证明了如下结果：复数域上的任意上三角矩阵代数中的每一矩阵都是Jordan全可导点.本文将证明：特征不为2的无限域上的任意上三角矩阵代数中的每一矩阵都是Jordan全可导点.

Jordan全可导点;导子;上三角矩阵代数;三角代数

0 引言

设R为一个有单位元的交换环,A为R上的一个代数.我们总是用1A表示A中的单位元,令X°Y=X Y+YX,设n≥2为一个固定的整数.

设φ:A→A是一个R-线性映射.若对任意的X,Y∈A,都有φ(X°Y)=φ(X)° Y+X°φ(Y)成立,则称φ是一个导子.设G∈A.若对任意的X,Y∈A,且X Y=G,有φ(X°Y)=φ(X)°Y+X°φ(Y)成立,则称φ在G点Jordan可导.如果每一个在G点Jordan可导的线性映射都是一个导子,则称G是一个Jordan全可导点(见文献［1］).

Zhao和Zhu在文献［1］中应用算子代数的方法证明了如下结果：复数域上的任意上三角矩阵代数的每一个元素都是全可导点.本文将使用代数方法证明：特征不为2的无限域上的任意上三角矩阵代数中的每一矩阵都是Jordan全可导点.

1 主要结论

定理特征不为2的无限域上的任意上三角矩阵代数中的每一矩阵都是Jordan全可导点.

在证明定理之前,我们需要如下引理：

引理［2］设F是一个无限域,Τn(F)是F上的一个n×n上三角矩阵代数.设φ是Τn(F)上的一个F-线性映射.假设对于任意的可逆元X∈Τn(F)有φ(X)=0,则φ=0.

证明假设对于任意的可逆阵X∈Τn(F)有φ(X)=0.任取A∈Τn(F),由于F是无限域,则存在λ∈F,使得λ1Τn(F)-A是可逆的.由假设我们有φ(λ1Τn(F)-A)=0,以及φ(1Τn(F))=0,因此φ=0.证毕.

下面我们给出定理的证明.

定理证明设F是一个特征不为2的无……