☉江苏省清浦中学　吴洪生

研究策略定方案合作探究寻规律——“函数y=Asin（ωx+φ）的图像”教学设计与教后反思

☉江苏省清浦中学吴洪生

一、教材分析

本节课是苏教版必修4第1章“1.3.3函数y=Asin（ωx+ φ）的图像”第1课时的内容，是对“1.3.2三角函数的图像与性质”内容的深入与提升，也是为“1.3.4三角函数的应用”的研究作准备，具有承前启后的作用，是本章的重点内容.三角函数的图像变换是高考的重要考点与常考问题，主要以填空题为主，但有时也会在解答题中出现.

本节课的教学重点是：参数φ、A、ω对函数图像的影响.理解由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图像变化过程，在研究过程中发现y=sin（x+φ），y=Asinx，y=sinωx的图像与函数y=sinx的图像之间的关系，得到三种变换规律.通过渐进整合，得到函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像与函数y=sinx的图像之间的变换关系，感悟图像变换与解析式变换的内在联系.

本节课的教学难点是：（1）函数y=sinωx的图像与函数y=sinx的图像之间的变换关系；（2）函数y=sinωx的图像与函数y=sin（ωx+φ）的图像之间的变换关系.

二、学情分析

本节课的内容是在学生已经学习了三角函数的周期性、三角函数的图像与性质，以及必修1中函数图像的对称变换、平移变换等相关知识的基础上开展的，特别是在初中的二次函数y=a（x-h）2+k图像的学习中，有过多个参数影响函数图像变换的研究经历，对研究方法有了一定的了解，已经具备了一定的知识基础和观察、探究能力，因此，学生通过自主探究获得图像变换规律是可行的.

三、教学目标

1.知识与技能目标

能通过活动，探究、观察参数φ、A、ω对函数图像的影响，并能概括出三角函数图像各种变换的实质和内在规律；从而逐步研究函数y=Asin（ωx+φ）的图像与函数y= sinx的图像之间的关系，会用图像变换画出函数y= Asin（ωx+φ）的图像.进而达到使学生学会的目的.

2.过程与方法目标

通过对函数y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律的探索过程的体验，培养学生的观察问题和探索问题的能力.经历“由简单到复杂、由特殊到一般”的操作、归纳过程，发现三角函数图像变换的本质.领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法；在探究过程中渗透化归、数形结合等数学思想.进而达到使学生会学的目的.

3.情感态度，价值观目标

让学生自主探究研究策略，经历研究过程，形成从具体到抽象、由感性到理性、由特殊到一般的数学理念，培养学生的认知策略.通过自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养学生的合作意识.进而达到使学生乐学的目的.

四、教学方法

1.启发、引导

以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线，由易到难，层层推进，使学习过程成为学生对书本知识再发现、再创造的过程，培养学生的创新意识.

2.自主探究、合作探究

让学生从问题中质疑、探究、归纳、总结规律，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力.

五、教学过程设计

活动一：创设情境，导出课题

借助视频创设情境：（几何画板）动画演示弹簧振子振动，如图1，由此导出弹簧振子振动过程中，物体离开平衡位置的位移y关于时间x的函数解析式y= Asin（ωx+φ）.这就是我们今天要研究的函数（揭示课题），为了方便研究，这里的A＞0，ω＞0.这类函数在物理学、工程学中具有广泛的应用.简要介绍几个物理概念.

图1　

问题1：函数y=Asin（ωx+φ）从形式上看和我们之前学习过的什么函数有相似之处？

图2　

生1：与正弦函数.

师：与函数y=sinx进行比较，发现它们的解析式和图像都有类似之处，如图2，由此启发我们，要在函数y=sinx图像的基础上研究函数y= Asin（ωx+φ）的图像.

设计意图：通过物理学中弹簧振子做简谐振动创设问题情境，使学生体会到数学是物理学等其他学科研究的工具和手段，加强了数学与物理学等学科的联系.这也符合教材本身的设计安排.通过对两个函数y=Asin（ωx+ φ）与y=sinx的图像与解析式的对比研究，发现它们既有相似之处，也有不同之处，顺应了学生的认知规律并激发学生的研究兴趣.

活动二：研究策略，制定方案

问题2：如何在函数y=sinx图像的基础上研究函数y= Asin（ωx+φ）的图像？小组讨论.

生2：（方案1）由一个具体函数来研究，用“五点法”作出它的图像.如：y=3sin

师：“五点法”是作简图的一种方法，不能准确刻画A、ω、φ对图像的影响，对于五点以外的其他点的特征还不能弄清楚.况且，取一个特殊函数并不具有一般性.

生3：（方案2）y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）.

生4：（方案3）①y=sinx→y=sin（x+φ）；②y=sinx→y= Asinx；③y=sinx→y=sinωx；④整合得到y=Asin（ωx+φ）.

师：比较三种方案各自的特点，确定更具一般性的方案.

生5：比较分析三种方案，选择方案3.优点是：复杂问题简单化，先控制三个变量中的两个，让一个变化.分别为：A=1，ω=1，研究φ对图像的影响；φ=0，ω=1，研究A对图像的影响；A=1，φ=0，研究ω对图像的影响.

设计意图：面对一个全新的问题，如何探究解决思路，关键是引导学生思考解决问题的方案.考虑到学生在必修1中已经学习过多种基本初等函数的图像和性质，对研究方法有了一定的了解，也有过多个参数影响函数图像变换的研究经历.所以，在这里放手让学生自主探究是有基础的，在探究的过程中体会从“特殊到一般”、从“简单到复杂”的思维方法，确定“分而治之、各个击破”的研究方案，为下面的逐个探究做好铺垫.

活动三：合作探究，总结规律

问题3：函数y=sin（x+φ）的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？

师：几何画板展示图像；怎么观察？

师：其他点是不是也有这样的规律？动手度量两点间的距离，并拖动.揭示图像变换的本质.

师：能给出结论吗？

师：要是改为φ呢？如何由函数y=sinx的图像到函数y=sin（x+φ）的图像？请注意语言规范.

活动四：适时总结，提炼规律

生10：函数y=sinx的图像上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平移|φ|个单位得到函数y=sin（x+φ）的图像.

师：上述探究过程蕴含了哪些数学思想？观察—归纳—猜想—证明；从特殊到一般；数形结合思想.

师：函数y=sinx的图像到函数y=sin（x+φ）的图像的变化，从本质上讲是：x→x+φ；口诀：左+右-.

设计意图：通过学生自主探究、生生合作探究、师生合作探究，观察猜想，作图验证，理性分析，从“形”“数”两个角度，得出结论.让学生在探究知识的同时，掌握分析问题、解决问题的方法.体会“归纳—猜想—证明”、“数形结合”等数学思想方法.还可以将探究方法迁移到后续对A、ω的探讨中去.

问题4：函数y=Asinx的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？

师：你们自主选择A，自主探究，并请学生上黑板画图.

生11：取A=3，同上，在同一坐标系中画出y=sinx与y=3sinx一个周期内的图像.

师：请同学解释你的发现.

生12：从五个特殊点找关系，横坐标相同时，纵坐标是3倍关系.

师：其他点是不是也存在3倍关系？

几何画板展示：由y=sinx的图像变换到y=3sinx的图像.

理论说明：从点（t，sint）到点（t，3sint）.

师：能否说明两图像的关系？如何一般化？

生13：函数y=sinx的图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）得到函数y=Asinx（A＞0且A≠0）的图像.

师：函数y=sinx的图像到函数y=Asinx的图像的变化，从本质上讲是：y→Ay.

设计意图：类比研究参数φ对函数图像的影响，老师引导、学生自主探究、合作探究相结合，总结规律，得出结论.

问题5：函数y=sinωx的图像与函数y=sinx的图像有什么关系？

生14：取ω=2，同上，在同一坐标系中画出y=sinx与y=sin2x一个周期内的图像，观察对比后归纳总结规律.

生15：展示所画图像.

师：你能说明发现的过程吗？

生16：类比问题4，五个关键点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

师：几何画板展示：由y=sinx的图像变换到y=sin2x的图像.

师：能推广到一般情况吗？

生17：函数y=sinx的图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=sinωx（ω＞0，ω≠1）的图像.

师：函数y=sinx的图像到函数y=sinωx的图像的变化，从本质上讲是：x→ωx.

设计意图：类比前面的探讨方法，请学生自主探究ω对y=sinωx的图像的影响.

活动五：渐进整合，巩固深化

问题6：函数y=sinωx的图像与函数y=sin（ωx+φ）的图像有什么关系？

师生活动：学生讨论后交流，合作探究.

4单位而得到的.

生19：函数y=sin）的图像可以看做是将函数y=sin2x的图像上所有点向左平移个单位而得到的.

师：还可以这样解释，令2x等于z，那么由函数y=sinz到函数），z向左平移个单位，因而，x只需要向左平移个单位.

师：能推广到一般结论吗？

生22：函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ≠0）的图像，可以看做是将函数y=sinωx的图像上所有的点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移个单位而得到的.

设计意图：在问题6的解决过程中，老师通过让学生呈现错误、发现错误、纠正错误的方式进行教学，不仅使学生印象深刻，而且有利于学生深刻把握变换的本质.教师借助“换元思想”提升认识问题的层次，实现重难点突破.通过问题6，使学生经历了从一个参数对函数图像的影响升级为两个参数对函数图像的影响的研究过程，步步深入，渐进整合，巩固提升.感悟图像变换与解析式变换的内在联系.

思考题：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是如何由函数y=sinx的图像变换得到的？

六、教后反思

（1）从弹簧振子振动的轨迹引出函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像，在此基础上引导学生分别与函数y= sinx的图像和解析式进行对比，发现相似之处、不同之处，激发学生的研究兴趣，这种在情境中进行联想、研究的方式符合学生的认知规律.

（2）“分而治之，各个击破”的研究策略是针对有基础的学生.学生在必修1中已经学习过图像的平移变换、对称变换等知识，有研究简单函数图像生成复杂函数图像的经历，对图像变换法有所了解，因此，学生在合作交流中确立“分而治之，各个击破”的研究策略，将复杂问题简单化，提出控制变量（即先相对固定两个变量只探讨一个变量）的研究方案，不仅有基础，而且有利于培养学生的认知策略.

（3）学生自主探究、生生合作探究、师生合作探究的教学方法是成功的.建构主义学习理论认为：“学习不是由教师直接传递给学生，而是由学生自己主动建构知识的过程，这种建构无法由他人来替代.”知识构建的过程是根据学生已有经历，通过观察—归纳—猜想—分析—证明，得出结论.让学生在探究知识的同时，掌握分析问题和解决问题的方法.本课先由学生自主探究、合作探究，分别探究A、ω、φ对函数图像的影响，在此基础上，再进行整合，这种知识的构建，就是从一个参数对函数的影响升级为两个参数、三个参数对函数图像的影响，步步深入，逐渐生成.通过学生有意义的主动建构、合作探究，达到了让学生“学会、会学、乐学”的教学目标.

（4）对教学过程的预设和上课时的实际情况是有距离的.问题3用时相对多了些，导致问题5、6的处理有些仓促.F