张丽华　安丹红

“木马”云查杀，加固“防火墙”——方程（组）与不等式（组）错题解析

张丽华安丹红

方程（组）与不等式（组）都是基本的数学模型，是解决实际问题的重要数学工具，又是中考命题必考内容之一.梳理巩固这两部分内容的基础知识更能为解答中考热点问题——函数、方程（组）、不等式（组）的综合性问题奠定好基础.下面我们就方程（组）与不等式（组）中查杀出的各类“木马”进行分析，进一步加固“防火墙”.

木马病毒一：对于各类方程定义的理解不彻底

例1已知关于x、y的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=2.

（1）当k=_______时，方程为一元一次方程；

（2）当k=_______时，方程为二元一次方程.

【错误解答】（1）k=±1；（2）k=±1.

【木马自述】（1）令x2项系数为0时还挺明白的，当算得k=±1时，下意识就认为x的系数（k+1）肯定是0了.

（2）想着肯定不能有二次项，又得到了k=±1的答案，就没有考虑一次项x的系数不为0.

【杀毒建议】对一元一次方程、二元一次方程的定义要充分掌握，未知数个数、未知数次数、未知数系数三方的要求都要考虑周全，因此正确解答为：（1）k=-1；（2）k=1.

例2（2015·白银）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=_______.

【错误解答】a=±1.

【木马成因】做题时只关注了“根是0”，忘了一元二次方程的定义要求二次项系数不为0.

【杀毒建议】充分理解一元二次方程的定义，如果给出的方程二次项系数含有字母，切记“二次项系数不能为0”这一条件，所以本题正确答案应该是a=1.

木马病毒二：对于不等式的基本性质运用不灵活

例3（2015·乐山）下列说法不一定成立的是（）.

A.若a＞b，则a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，则a＞b

C.若a＞b，则a2＞b2

D.若ac2＞bc2，则a＞b

【错误解答】D.

【木马成因】对于D，不等式两边同时除以c2，只单纯判断出c2≥0，想着要是0的话肯定不成立，就选了D.

【杀毒建议】D选项中由非负性c2≥0，而条件ac2＞bc2中隐含了c2≠0，因此选项正确；

C选项中因为任何数的平方都是非负数，所以a2与b2的大小取决于和的大小关系，因此本题应该选C.

木马病毒三：对解方程的步骤执行不到位

例4（2015·盘锦）方程（x+2）（x-3）= x+2的解是________.

【错误解答】x=4.

【木马成因】观察方程左右两边以为可以同时除以（x+2）来化简方程，化简后得到了x-3=1.

【杀毒建议】要熟知用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项；②因式分解；③令每个因式为0，化为两个一元一次方程；④解这两个方程.所以此题①移项：（x+2）（x-3）-（x+2）=0；②因式分解：（x+2）·（x-4）=0，正确结果为：x1=-2，x2=4.

【错误解答】x=2.

【木马成因】解分式方程时按照步骤解得x=2，但忽略了分式方程有增根的问题.

【杀毒建议】解分式方程的关键是熟记解分式方程的步骤，一定要进行检验.此题经检验，原方程无解.

木马病毒四：对于一元一次不等式（组）中字母取值的思考有疏漏

A.a≥1B.a＞1

C.a≤1D.a＜1.

【错误解答】B.

【杀毒建议】“大大小小是无解”的口诀只能初步确定字母的范围a＞1，然后单独分析a=1的情况，发现无解（符合题意），综上得到a≥1.

A.-1≤m＜0B.-1＜m≤0

C.-1≤m≤0D.-1＜m＜0

【错误解答】D.

【木马成因】解得不等式组的解集为m-1＜x＜1，由恰有两个整数解得到-2＜m-1＜-1，选择D.

【杀毒建议】当初步确定字母的范围-2＜m-1＜-1后，必须单独分析m-1=-2及m-1=-1两种情况：令m-1=-2，解集为-2＜x＜1恰有两个整数解（符合题意）；令m-1=-1，解集为-1＜x＜1恰有一个整数解（不符合题意）.综上-2≤m-1＜-1，故选A.

木马病毒五：对于分式方程分母不为0的条件依旧模糊

【错误解答】n<2.

【木马成因】按步骤求出分式方程的解x=n-2，由解是负数得出n<2，却忘了老师一再强调的解分式方程验根必不可少.

【杀毒建议】遇到分式方程的问题，一定要记得使原方程有意义的条件：2x+1≠0，任何时候都不能忽略分母不为0，所以正确解答是n<2且

例9（2015·毕节）关于x的方程x2-4x+ 3=0与有一个解相同，则a=______.

【错误解答】a=±1.

【木马成因】先解得一元二次方程的解为x1=1，x2=3；再解分式方程整理得到x=a+ 2；所以分别代入x=1和x=3得到a=±1.

【杀毒建议】讨论分式方程的解一定要记得使原方程有意义的条件：分母不为0.而x=1时分式方程无意义，所以只能将x=3代入，最终a=1.

一键扫描：

1.若关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围___________.

A.a＞1B.a＜1

C.a≥1D.a≤1

3.方程3（x-5）2=2（x-5）的解是______.

A.6＜m＜7B.6≤m＜7

C.6≤m≤7D.6＜m≤7

A.m≥-1B.m＞-1

C.m＞-1且m≠1D.m≥-1且m≠1

诊断结果

1.k<2且k≠12.D3.x1=5，4.原方程无解5.D6.1或-1 7.D8.-3≤a＜-2

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校、江苏省无锡市安镇中学）