杨桂春

【摘要】数学知识既是演绎的又是实验归纳的，但人们往往只看到其演绎的一面而忽略了其实验归纳的过程，这不利于学生认清数学的本质.本文从合情推理的意义与价值、数学知识的逻辑程序与历史程序、数学发展过程中的两个动力、数学中规定的必要性与合理性等角度，分析比较数学的两个侧面及其关系，对引导学生建立正确的数学观做了一些尝试.

【关键词】数学知识；两个侧面；数学观

一、一个有趣的例子

1777年，法国数学家蒲丰（Comtede Buffon ）提出了一个有趣的求π值的实验方法：在平面上画两条距离为a的平行线，将一根长度为l（l

我们知道圆周率π是圆周长与直径的比值，是一个有确定值的精确概念，却可用与圆周毫不相干的投针实验来近似地得出，真是不可思议.其实这个结论反映了数学知识内在的本质的联系，这里不去研究.问题是：数学作为一门逻辑性的演绎学科，实验归纳扮演什么样的角色呢？进而引发了关于数学观的疑问：数学是演绎的，还是实验归纳的？抑或两者兼而有之？数学发展的动力是什么？数学真理的标准是什么？

二、数学观与数学的本质

数学观是人们对数学的总体看法，也就是人们对什么是数学的认识，从认识论的角度来说，每个人都有自己的数学观，大多数人趋于共识的认识构成了主流的数学观.数学的本质究竟是什么？

关于数学的本质究竟是什么，主要有以下几种观点：

恩格斯说：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学.

著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为：数学是系统化了的常识.

数学史学家认为：数学是人为规定的一套语言、符号系统.

数学哲学家认为：数学是确定无疑的绝对真理.也有人认为正好相反：数学是可误的且可纠正的等等.

数学观决定着人们对数学的态度和解决数学问题的方法.20世纪初，数学家在如何解决数学基础危机问题上由于各自不同的数学观（罗素认为数学就是逻辑，冯·诺伊曼认为数学是符号游戏，布劳威认为数学是心智的构造）便产生了三种解决方案，并由此发展出数学基础的三大学派：逻辑派、形式派、直觉派.

三、数学的两个侧面

波利亚指出数学既是一门系统的演绎科学又是一门实验性的归纳科学，即数学具有二重性.“一方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，它是欧几里得式的严谨科学，是一门系统的演绎科学；另一方面，从形成过程中的数学看来却像是一门实验性归纳科学.”由于数学教科书记载的是定型的数学知识，因此，数学展现给人们都是第一个侧面，很少反映第二个侧面，从而在学生思想中形成数学是严谨的演绎学科的深刻印象，掩盖了数学实验与归纳的面目，从而形成片面的数学观.这种片面的数学观将妨碍学生正确理解和运用数学，也影响学生学习数学的兴趣.

四、教师的责任

数学教育工作者自身的数学观对教学方式及学生数学观的形成的影响是很大的.

如果把数学看成是绝对的真理、看成静态知识的堆砌，那么数学教学的目的就是教师把这些知识原样地传授给学生，学生只需模仿和记忆，教学评价则以学生掌握知识量作为评价指标.

如果认为数学真理不是绝对的，把数学看成问题、语言、命题、理论和观念组成的复合体，是动态的认识发展系统，那么数学教学的目的就是培养学生的批判意识和创造能力，提升人的数学素养、实现人的发展.

既然存在着不同的数学观，作为数学教育工作者，必须选择正确的数学观并把它融入数学教育工作中去，数学教育的任务应该是既把数学知识传授给学生又培养其创新精神，同时又使学生形成正确的数学观.

讲清数学的两个侧面，引导学生建立正确的数学观，是广大数学教育工作者的责任，也是值得深入探讨的一个问题.

笔者认为，在传授数学知识的同时，使学生了解以下几点，对形成正确的数学观是有益的.

（一）合情推理的意义与价值

科学思维具有两重性：一类是进行论证推理的逻辑思维；另一类则是形象思维.形象思维最直接的层面是合情推理.逻辑思维是在 “抓到真理”后进行完善和 “补充证明”的思维，而合情推理则是 “发现真理”的思维.

合情推理是波利亚的“启发法” 中的一个推理模式，它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法，是波利亚多年深入研究数学问题解决过程得出的理论成果.波利亚认为，可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”是不存在的；在问题解决过程中，人们总是针对具体情况，不断地向自己提出有启发性的问句、提示，以启动与推进思维的小船.

他明确提出有两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据，即波利亚给我们指出数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且有许许多多其他方面：推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等，数学教师应使学生了解这些十分重要的 “非形式”思维过程.在日常生活中，合情推理几乎无处不在，比如：“它可能是……” （猜测），“做出来看一看” （实验），“由上所述可得……” （归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象” （联想），“实践是检验真理的唯一标准” （检测）等.

合情推理是产生数学猜想的主要源泉，受惠于合情推理，数学猜想不断推动数学学科的进步.从数学发展史上看，每一个重要数学发现，除演绎推理外还要大量地依赖于合情推理，许多数学问题、数学猜想，包括著名各界难题的解决，往往是在对数式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法的，而后再进行逻辑验证，同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼或数学研究范围得到扩展，使数学发展前进一步.

合情推理是“发现真理”的思维，我们的数学教学，历来强调逻辑思维，而对合情推理有所忽视，“既教证明，又教猜想”，结合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要，是全面提升学生优秀文化素质的需要，是全面开发大脑潜力的需要.忽视了合情推理能力的培养，势必使学生的推理意识和能力形成缺陷，对今后的发展造成不可估量的损失.

合情推理是培养探索能力的基本手段，是培养创造能力的重要武器，是“数学发现”的重要途径，无论是对于数学自身的发展，还是对于学生自身的发展，合情推理都具有非常重要的意义，因此，我们应该格外重视合情推理能力的培养.

（二）数学知识的逻辑程序与历史程序

数学教材是根据教学需要，按照知识的逻辑程序编排的.一般说来，知识产生的历史程序与教材反映的逻辑程序并不完全一致且不为学生所知，如初等代数教材中都是先研究指数函数再用指数来定义和研究对数函数，这在逻辑上是和谐的.而历史上，指数与对数是毫不相干的数学概念先后形成的，而且是对数在前，指数在后，是欧拉发现了两者之间的对应关系，从而有了现在的逻辑程序.这种逻辑程序对理解和研究指数与对数的知识是颇有益处的，绕过了前人所走的一切弯路.

按逻辑程序编写的教学内容，由于不能正确、客观地反映数学知识形成的过程而掩盖了数学形成过程中归纳与实验的一面，造成数学是抽象的、枯燥无味的消极影响.为了消除这种消极影响，教师在教学时要讲清数学知识产生的渊源及形成的过程，使学生了解数学知识的逻辑程序与历史程序及相互之间的差异，了解人为造成这种差异的动机与效果.这对激发学生学习数学的兴趣，形成正确的数学观是有益的.

（三）数学发展过程中的两个动力

数学的发展主要受两个因素的驱使，一个是使数学知识趋于完善的内在需求.为了解决数学自身的问题，弥补原有知识的缺陷，人们做出一些新的规定，从而演绎出新的数学知识.如为了使“开平方”运算得以有意义的实施，人们引进了虚数单位i，规定i2=-1，并规定形如a+bi （a，b为实数）的数叫复数，并规定了复数的四则运算，从而演绎出复数的理论体系.在这个过程中逻辑起了主导作用，体现了数学的逻辑与演绎的一面，往往是先从理论上完善后考虑应用.

另一个是解决实际问题的需求也刺激了数学的发展.为了解决实际问题，人们不断尝试和选择着新的方法，在这过程中实验与归纳起了主导作用.这时的数学方法是零零星星的，从理论上来讲是不完善的，如微积分在应用了相当长时间时，理论基础尚未完全建立起来.在尝试过程中，有许多失败的教训，最终失败的记录随着时间的推移而被淡化了，而有益的尝试经过逻辑加工而成型了，以演绎的形式传了下来，展现于世人面前.其实逻辑演绎与实验归纳对数学的发展都是极其重要的，没有逻辑数学无法严密，没有实验归纳数学就难创新，往往是先应用后理论完善.

（四）数学中规定的必要性与合理性

为了更好地研究、传播及应用，数学中必须做出一些规定用以规范和界定不同的数学对象，这与社会中制定（规定）法律来规范人们的言行是类似的.

规定是人为的，人们总是试图用少量的规定来达到所需的目的，对数学中规定的必要性与合理性的研究体现了数学实验归纳与演绎推理的两个侧面.因此，正确认识数学中的规定也是形成正确的数学观的一个重要因素，教学时必须讲清规定的必要性与合理性.数学中的所有定义都是规定的.定义一般都是从一些客观对象中抽象出来的，抽象的过程是一个归纳的过程.如“规定了方向、原点和长度单位的直线叫数轴”就是从人们早已熟知的秤杆、温度计及船闸上的标尺等中抽象出来的.在教学过程中必须讲清定义的实际来源.同时，还要结合教学内容深入浅出地讲清各种定义的合理性，使学生感到自然、切实.如为了使am÷an及Cmn=n！m！（n-m）！在m=n时有意义，必须对a0（a≠0）与0！做出规定，规定可以任意做出，如规定a0=3，0！=8等，但考虑到其合理性及数学知识的和谐性，人们选择了a0=1（a≠0），0！=1，这就反映了数学演绎的面目.数学中的符号都是人工制订、约定俗成的，也可说是前人规定的.符号的形式及意义不是一旦确定就一成不变的.讲清各种数学符号的起源及演变过程也有助于学生正确认识数学.如，开平方符号“”的演变过程，最初用·a+b 表示a+b的平方根，后来又用 a+b表示，但因都无法区别a+b与a+b而被废弃了.了解演变过程同时也有助于正确使用数学符号.

学生怎样认识数学受许多因素的影响，如何引导学生建立正确的数学观也非一篇文章能讲清，这里谈一点个人的体会与做法，求教于大家.