尹社会，郭洪林

（河南工业职业技术学院 河南 南阳 473000）

一类新超混沌系统的动力学行为及电路实现

尹社会，郭洪林

（河南工业职业技术学院 河南 南阳 473000）

利用状态反馈法构造了一类新的四维超混沌系统，通过Matlab进行了数值模拟，并结合相图、Lyapunov指数谱图和分岔图等对该系统进行了定性和定量的动力学行为分析。通过Multisim振荡电路的搭建对该系统进行了电路仿真实验，实验结果与Matlab数值模拟结果一致，验证了该系统的混沌特性。

超混沌系统；Lyapunov指数；分岔图；电路仿真

混沌是发生在确定性系统中的一种不确定行为，混沌状态是平衡状态、周期状态、拟周期状态以外的第四种状态。混沌是非线性科学的一个重要分支，混沌理论的研究及其在信息安全领域中的应用是当前科学界和工程领域的一个前沿课题[1-10]。由于电路系统与其对应的数学模型具有很好的吻合性，使电路模型能够方便地模拟各种非线性混沌系统，并能很好地复现各种复杂的非线性现象；且电子测量更为方便，如采用示波器，可以直接获得被测量数据的时域图和相图。在混沌的理论探索和应用研究中，非线性电路充当着桥梁的角色。借鉴已有的混沌系统，可以设计各种混沌、超混沌系统及实现线性系统的混沌化。从电路的设计这个角度来考虑，在混沌理论分析的基础上，将状态方程中的各种理论参数数值通过某种对应关系的变换，然后将理论参数值转换成实际所需要的电路参数值，这种用理论指导电路设计的方法是最终解决用电路实验证实产生混沌吸引子具有可行性的关键技术所在[11-16]。利用这种方法获得的电路参数具有较高的准确性，可进一步用于指导硬件电路的设计与实验，这些电路参数设计值的准确性很高，当电路设计完成后，很多电路实验都只需对某些元件的参数值稍微作一点调试，便可获取所需的硬件实验结果。随着电子元器件精度的提高与电子技术的发展，使得实验数据的精度大幅提高，直接推动了混沌电路的深入研究。

1 数学模型及其主要结果

张转周等提出的的一个三维非线性混沌系统[17]，其数学模型如下，

由于其特殊的动力学行为，该系统的动力学特性被分析并研究，其全局动力学行为也被研究过[18]。本文基于该三维非线性系统构建了一个新四维超混沌系统，通过在第2个方程中加入扰动项，并引入第4个方程。其数学形式如下：

图1 系统（2）轨线的相图

为了探讨系统 （2）的动力学行为的复杂性，下面通过Lyapunov指数谱图和分岔图进行研究。在系统参数a=5，c=1，d=0.1，e=7.2时，通过改变参数b可以发现系统的动力学行为的变化，如图2所示，参数b∈[1，24]，可以发现在区间[1，9.4]内系统（2）只有一个Lyapunov指数为0，其余均小于0，说明系统处于周期运动状态，中间有很小的区间会出现最大Lyapunov指数大于 0的情况，即出现混沌状态。在区间[9.4，24]内会出现两个正的Lyapunov指数，说明系统处于超混沌状态，但是其中第二、第三Lyapunov指数都非常接近于0，这说明系统的超混沌特性并不是太明显。分岔图是另一个验证系统动力学特性的有效手段，如图3所示，可以看出，结论与图2非常一致。

图2 Lyapunov指数谱图

图3 系统（2）的分岔图

图4 极限环相图（b=5）

2 电路设计与实现

对系统（2）进行电路仿真则需要考虑系统的状态变量的变化范围是否超出运算放大器、乘法器的电源电压提供范围，具体涉及到运算放大器组成的反相比例放大器、反向加法器、减法器以及积分器等电路模块中的运算放大器是否工作在线性工作区，因此在进行具体的电路实现时要进行状态变量的适当比例变换。在本系统中，可以进行缩放到原来的1/10的线性变化，即令因为改变变量符号并不影响方程，因此这里依然采用原来的变量符号，则系统（2）变换为

在系统（3）中，运算放大器采用TL062，乘法器采用AD633，根据系统（3）可以得到相应的电路原理图，如图5所示。

电路中已经标注各元件对应的参数值及型号，限于篇幅，这里不再赘述。通过示波器可以观察到系统（3）产生的相图如图6和图7所示，与前面的图1和图4相比较可以看到，模拟电路的实验结果与计算机数值仿真结果具有很好的一致性。

3 结论

本文从一个三维非线性混沌系统出发，通过线性反馈构造了一个四维超混沌系统，然后通过 Lyapunov指数和Lyapunov维数，吸引子相图、分岔图和Lyapunov指数谱图证明了系统的超混沌特性。最后通过模块化模拟电路的设计实现了系统的模拟电路，电路实验结果与数值仿真结果相一致，为系统的实际应用提供了良好的条件。以后的工作重点将考虑构造基于新超混沌系统的混沌保密通信系统。

图5 电路原理图

图6 示波器观察到的混沌吸引子相图

图7 示波器观察到的极限环相图

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Dynamics behavior of a class novel hyper-chaotic systems and its circuit implementation

YIN She-hui，GUO Hong-lin
（Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China）

A class of hyper-chaotic system is constructed based on state feedback method in this paper.The phase portrait，Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram for the system by Matlab are obtained.The circuit simulation of system is also obtained by Multisim.Both results obtained by above methods are consistent.

Hyper-chaotic system；Lyapunov exponent；bifurcation diagram；circuit simulation

TN911

A

1674－6236（2016）15-0042-03

2016-01-16 稿件编号：201601121

河南省科技发展计划项目（142300410416）；南阳市科技发展计划项目（2013RK013）

尹社会（1979—），男，河南沈丘人，硕士研究生，讲师。研究方向：非线性电路和系统等。