吴强

概率是随机事件自身的属性，是对随机事件发生的可能性大小的度量.概率的计算是中考命题的热点之一.求概率要根据题目的特点，选择适用的方法，才能简捷准确.

一、 实验法

在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小.当试验次数很大时，事件发生的频率可以作为其概率的估计值.

例1 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：

（1） 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______；（精确到0.01）

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是_______；

（3） 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只.

（4） 解决了上面的问题，小明同学猛然想起过去一个悬而未决的问题：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出主要步骤及估算方法.

解：（1） 当n很大时，摸到白球的频率将会接近（0.58+0.64+0.58+0.59+0.605+0.601）÷6≈0.60；

（2） 摸到白球的概率是0.60，摸到黑球的概率是1-0.60=0.4；

（3） 白球有20×0.60=12（只），黑球有20-12=8（只）；

（4） 把a个黑球装入口袋中，将黑球、白球混合搅匀，做摸球实验，随机摸出一个球记下颜色，再放回口袋中，不断重复，多次实验后得到摸到黑球的频率P，设白球的数量为b，由于黑球有a个，可得a/a+b=P，解得：b=1-p/pa.

【总结】考查利用频率估计概率，大量重复试验下，频率的稳定值即概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.部分数目=总体数目乘相应概率.

二、 枚举法

例2 在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________.

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目.二者的比值就是其发生的概率.

解：在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，有12，13，21，23，31，32六种等可能结果，能被3整除的有12，21两种情况，即这个两位数能被3整除的概率是2/6=1/3.

练习 用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为_______.

答案：2/3.

例3 甲、乙、丙三位同学随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为_______.

【分析】枚举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率.

解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，有4种甲没在中间，所以甲没排在中间的概率是4/6=2/3.

【总结】本题考查用枚举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

三、 方程法

例4 不透明的口袋中装有若干个完全相同的白球，为了估计它们的个数，现将两个黑球（除颜色外其他都与白球相同）放入口袋中，然后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，按此方法摸了100次，有20次摸到了黑球，则估计口袋中共有白球（ ）.

A. 7个 B. 8个

C. 9个 D. 10个

【分析】口袋中有2个黑球，根据黑球在总数中所占比例与实验比例相等求出即可.

解：（1） 设有x个白球，

∵口袋中有2个黑球，实验总共摸了100次，其中有20次摸到了黑球，

∴2/2+x=20/100，

解得：x=8，即口袋中有白球8个.故选B.

例5 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个.

（1） 先从袋子中取出m（m>1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下列表格：

（2） 先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于4/5，求m的值.

解：（1） 事件A为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m=4； 若事件A为随机事件，则袋中有红球，∵m>1，∴m=2或3.

（2） ∵m+6/10=4/5，∴m=2.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）