康海芯

频数分布直方图是初中数学的重要知识点，也是各类考试命题的热点之一，现以课本中一道习题的演变与拓展为例，与同学们一起走进丰富多彩的数据世界，感受它的魅力.

【苏科版八（上）课本第82页第7章7.4习题1】为了调查某市噪声污染情况，该市环保局抽样调查了40个噪声测量点的噪声声级（单位：dB），结果如下：

（1） 在噪声最高的测量点，其噪声声级在哪个范围？

（2） 噪声声级低于65 dB的测量点有多少个？

【解析】（1） 因为频数分布直方图中噪声声级横轴从左到右依次增高，所以噪声最高声级在第5小组，其范围为75～80 dB；

（2） 观察频数分布直方图可知噪声低于65 dB的测量点有两组，共14个.

变式一 更换问题背景，侧重考查依据频数分布直方图提取信息的能力

例1 某次考试中，某班级的数学成绩统计图如下.下列说法错误的是（ ）.

A. 得分在70～80分之间的人数最多

B. 该班的总人数为40

C. 得分在90～100分之间的人数最少

D. 及格（≥60分）人数是26

【分析】观察所给的条形统计图，可知图中各个竖条表示的是不同分数段的人数，从统计图中可知得分在50～60分之间的有4人，得分在60～70分之间的有12人，得分在70～80分之间的有14人，得分在80～90分之间的有8人，得分在90～100分之间的有2人.由此可知该班的总人数为4+12+14+8+2=40（人），及格（≥60分）的有40-4=36（人），故选项D不正确.

解：选项A、B、C是正确的，选项D是错误的，故应选D.

【点评】从频数分布直方图中提取信息时，关键是要正确理解直方图中横轴与纵轴所表示的含义，以及小长方形的高与各小组频数之间的关系.

变式二 补充问题条件，侧重考查频数分布直方图与频数分布表之间相互转换的能力

例2 某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查.下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

（1） 把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2） 从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）

（3） 为了鼓励节约用水，要确定月均用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？为什么？

【分析】（1） 根据调查数据可知5.0

解：（1） 填表如下：

（2） 答案不唯一：如从直方图中可以看出：①居民月均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月均用水量在3.5

（3） 频数分布直方图补充如下：

（3） 要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，因为月均用水量不超过5吨的有30户，且30/50=60%.

【点评】解答统计表与统计图相结合的统计问题时，要善于将统计表与统计图中的已有信息相互对照，进行补充.

变式三 改变设问方式，侧重考查依据频数分布直方图进行计算与推理的能力

例3 3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为增强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

频率分布表

（1） 这次抽取了_______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m=_______，n=_______；

（2） 补全频数分布直方图；

（3） 若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

（4）针对学生安全意识不强的现象，请你向学校提出一条合理化建议.

【分析】（1） 首先依据“数据总数=频数/频率”计算出抽取的总人数，然后依据“频数=频率×数据总数”计算得出m的值，依据“频率=频数/数据总数”计算n的值；

（2） 依据m、n的值可以补全频数分布直方图；

（3） 先求出样本中70分以下（含70分）的学生的频率，再用样本中的频率来估计全校安全意识不强的学生数；

（4） 提出的建议要具体有操作性，符合题意即可.

解：（1） 200，70，0.12；

（2） 补全后的频数分布直方图如下图：

（3） 1500×（0.08+0.2）=420（人）；

（4） 答案不唯一，如开设安全教育课，开展安全知识讲座等.

【点评】借助“全国中小学生安全教育日”的背景考查频数分布直方图，将社会热点问题与数学应用有机地结合起来，同时又体现了用样本估计总体的思想.

（作者单位：江西省赣县江口中学）