张 雷, 张俊成

(西南石油大学化学化工学院，四川 成都 610500)



三样条插值在精馏塔设计中的运用

张 雷, 张俊成

(西南石油大学化学化工学院，四川 成都 610500)

一个好的插值方法在精馏塔设计中理论塔板数的计算中起着足轻重的作用，具有二阶连续导数的三次样条插值(the cubic spline interpolation)能很好的拟合出气液平衡曲线，其平滑性、高精度是其它插值方法所无法比拟的，同时三次条插值没有龙格现象，适用范围特别广泛。本文利用基于采用三次样条插值法visual basic编程获得精馏塔设计中的气液平衡拟合曲线、操作线方程、q线方程、最小回流比及其它相应的参数求得理论塔板数。

三样条插值；气液平衡曲线；理论塔板数

精馏是一种非常重要的化工分离手段，而精馏(塔)设计中最主要的部分就是精馏塔理论塔板数的求取。常见的理论塔板数的求取方法有图解法、逐板计算法和简捷计算法[1]等。无论何种方法，何种软件，一种好的插值方法都对设计起着至关重要的作用，文献中已经使用过拉格朗日插值法[2]，爱尔米特插值，最小二乘法[3]，以及其他的一些插值及计算方法[4-5]，但是这些插值方法与三样条插值法比起来虽然其它插值方法虽然能保证插值曲线各个分段是互相衔接的，但在节点处不能保证曲线的光滑性[6]。三样条插值法在上述插值方法的基础上大大提高了总体的光滑度，更加接近原函数[7]。

实际所用的各种溶液的气液平衡数据一般都由实验测得，大量的物系的实验数据已列入专门的书籍和手册以供查阅或者检索[1]。我们采用实验测定值作为插值节点，然后采用精度高，曲线平滑度好的三样条插值进行插值其结果也是为设计者所认同与采纳的。采用三样条插值最能得到光滑的汽液平衡曲线，降低求理论塔板数的误差，可广泛用于实验数据处理、实验结果预测等。

1 三样条插值

1.1 三样条插值原理

函数S(x)∈C2[a,b],且在每个小区间[xj，xj+1]上是三次多项式，其中a=x0

S(xj-0)=S(xj+0)

S′(xj-0)=S′(xj+0)

S″(xj-0)=S″(xj+0)(j=1,2，…,n-1)

共有3n-3个条件，加上S(xj)=yj条件共有4n-2个条件，还需要2个条件才能确定S(x)。通常在区间[a，b]端点上加一个边界条件，本文采用S’(x0)=y0，S’(xn)=yn，具体到本文中，一般气液平衡数据符合平衡方程：

对平衡方程求一阶导数：得到:S′(x0)=y0=α;S′(xn)=yn=1。故在设计条件中需要添加x=0时的相对挥发度，这样就可以得出相应的参数并求出S(x)：

(1)

其中hj=xj+1-xj。

1.2 参数的求解

对于每个插值段公式(1)中mj、mj+1由以下方法求取由下方法获得，求得的函数也是唯一确定的。

gj=3(λj·f[xj-1,xj]+μj·f[xj,xj+1])(j=1,2，…，n-1)

λjmj-1+2mj+μjmj+1=gj(j=1,2，…,n-1)

采用追赶法解得此方程组mj(j=1，2，…，n-1)。有相应的参数及公式(1)求得了三样条插值函数的表达式。

2 逐板计算法

双组份连续精馏塔塔板数最直接的设计计算方法就是逐板计算法，虽然逐板计算法很繁琐，但是准确度高，常常也为设计者所采用。逐板计算法的求解过程如下：

(1)根据实验所得气液平衡数据得到气液平衡线。

(2)确定回流比(R)根据精馏段方程得到精馏段操作线。

(3)根据精馏段操作线和q线方程联立求解得到交点(xq，yq)。

(4)由交点(xq，yq)和点(xw，xw)由两点式求得提馏段操作线。

(5)由第一块板上升的蒸汽组成等于塔顶产品的组成，故y1=xD。第一板下降的液体组成x1与y1成平衡，故可由平衡方程计算x1。第二块板上升的蒸汽y2与x1满足操作线方程，如此交替的计算下去直到xn

3 结 果

3.1 对气液平衡实验数据的插值

三样条插值的插值节点无论是不是等距节点，只要是实验测定的准确数据都可用于插值，不用对插值节点进行选择(拉格朗日插值法需对节点有所选择)，而且插值节点越多，其精度越高。一般气液平衡数据都是由0到1按间隔0.1左右取值，本文所设计软件插值节点最多为20个(如需要也可以增加)。以苯——甲苯为例，输入11个插值节点(物性手册中苯——甲苯气液平衡数据)采用三样条插值的结果如下图1，由图1可以看出曲线非常光滑，因为三样条插值法具有2阶的连续导数，这是其他插值法所无法比拟的。

图1 苯-甲苯汽液平衡数据拟合曲线

采用三样条插值其优点还有就是不会像拉格朗日插值法产生龙格现象[8]，拉格朗日插值法拟合醋酸——水二元体系时就会产生龙格现象，计算的函数值严重的偏离正常值，采用三样条插值我们可以看出拟合出的曲线(图2)效果却是十分理想的。

图2 苯-甲苯汽液平衡数据拟合曲线

液相气相实验值三样条插值拉格朗日插值000-0.0880.2120.2120.1910.20.3700.3700.3670.30.5000.5000.5030.3970.6180.6180.6160.4890.7100.7100.7040.5920.7890.7890.7780.70.8530.8530.8590.8030.9140.9140.9070.9030.9570.9570.965111-

由于缺少其他相应点的准确实验数据，其它点的实验值与准确值的误差难以确定，可知的1点是当液相为0.95时实验测定值为0.979，三样条插值计算值为0.978，相差仅0.001，综合其它节点的值我们可以看出三样条插值的精度很高。同时与拉格朗日插值法相比较，三样条插值的精度明显高于拉格朗日插值法,还可以看出三样条插值在节点处的值与实验值是一致的。

3.2 精馏塔塔板数计算的实现

软件设计采用了visual basic 6.0为设计软件，因为此软件具有可视化，自由添加空键[8-10]，设计好以后可以方便的更改相应的参数就可以实现多次，重复的计算，能大大减少设计者重复计算的好处。软件设计的流程图如图3所示。

图3 理论塔板数计算流程图

软件设计好以后，输入相应的插值节点(以苯——甲苯为例)，设计参数点击“开始”命令按钮就能得到图4的结果，其输出结果有相应的设计参数，也有设计的中间变量，q线与两天操作线的交点，同时也有最小回流比的值，当回流比比最小回流比还小的时候会有相应的提示。同时也显示出每块板上面气液相相应的值(4位小数)同时也做出了相应的图形。

图4 软件运行结果图

4 结 语

三样条插值是工程中常用的一种插值方法，由于其出色的二阶可导性，极其高的精度常为工程设计中所使用。现在将三样条插值与计算机编程相结合求取精馏塔理论塔板数极大的提高了精馏塔塔板数求取的准确度，同时插值数据完全来自于实验数据，真实可靠，突破了以往非理想溶液的限制，而且可以求得大部分非理想溶液的最小回流比，这在以前的文章中是不能做到的。所以所设计的软件相对于以前所设计的有了新的突破。同时用visual basic 基于逐板法计算精馏塔理论塔板数， 经过验证， 准确无误， 只需按照要求输入所需的相关参数就能显示出详尽的计算结果，软件简便实用，完全可以用于工程设计中。

[1] 陈敏恒,方图南,从德滋.化工原理:下册[M].北京: 化学工业出版社,2006:60-97.

[2] 吴晓艺,王静文,司秀丽.拉格朗日插值算法在图解法精馏塔设计中的应用[J].计算机与应用化学,2009,26(3):311-314.

[3] 许可,刘军坛,彭伟功,等. 基于Excel 的精馏塔理论塔板数的图解法[J]. 化学工程师, 2010(6):16-19.

[4] 刘爱科,陈亚军.AutoCAD图解法求精馏板理论塔板数[J]. 西华师范大学学报:自然科学版,2008,29(3):288-290

[5] 许新乐. MATLAB化工辅助计算[J].青海大学学报:自然科学版,2005,19(5):34-36.

[6] 李庆扬,王能超,易大义. 数值分析[M]. 北京:清华大学出版社,2008:41-46.

[7] 霍健,唐介汾,黄丽珍.三次样条插值函数在化工工艺计算中的应用[J].化工设计,2000,10(4):7-8.

[8] 西南石油大学应用数学教研室主编.数值计算方法[M]. 成都:四川科技出版社,2005:141-147.

[9] 刘瑞新,汪远征.Visual basic程序设计教程[M].北京:机械工业出版社,2011:40-60.

[10]刘炳文. Visual basic程序设计教程[M]. 北京:清华大学出版社,2009:30-47.

Application of Cubic Spline Interpolation in the Design of Rectifying Tower

ZHANGLei,ZHANGJun-cheng

(School of Chemistry & Chemical Engineering, Southwest Petroleum University, Sichuan Chengdu 610500, China)

A good interpolation method plays an important role in calculating the number of theoretical plates. The continuous second derivative’s cubic spline interpolation can get a good vapor liquid equilibrium fitting curve which smoothness and high precision is unmatched by other interpolation method and the scope of application particularly widespread and without runge phenomenon. Used visual basic programming based on cubic spline interpolation, vapor liquid equilibrium fitting curve, operation line, q line, Minimum reflux ratio and other relevant parameters were discussed and the number of theoretical plates was got.

the cubic spline interpolation; vapor liquid equilibrium curve; theoretical plates

张俊成(1993-)，男，在读研究生，专业方向：化学工程。

TQ209

A

1001-9677(2016)020-0135-03