☉浙江省宁波市第二中学顾文露

循循善诱，鱼渔皆得———“同角三角函数的基本关系”的课堂实录与思考

☉浙江省宁波市第二中学顾文露

一、背景介绍

听课，是教育教学的一个重要组成部分，是学习提高的一个重要途径和载体，是反省教学的一个好平台.最近笔者有幸参加了宁波市特级教师带徒活动，聆听了一堂新授课“同角三角函数的基本关系”.这堂课给人的感觉是循循善诱，鱼渔皆得.课堂上，教师教得自然，学生学得愉快.笔者听后感触颇多，深受启发，现整理成文，与大家分享.

二、课堂实录及评析

1.开门见山——一石二鸟

师：同学们，今天我跟大家一起学习1.2.2同角三角函数的基本关系，既然是1.2.2，那么肯定与什么内容有关？

生：与1.2.1的内容有关.

师：好！那大家还记得1.2.1的内容是什么吗？

评析：一方面，通过文字展示本节课的学习内容，激发学生的学习兴趣；另一方面，通过数字映射本节课的学习基础，让学生感悟数学是自然的.

2.复习回顾——指明方向

生：1.2.1的内容是任意角的三角函数.

师：怎么定义任意角的三角函数？

生：从“数”的角度：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=

从“形”的角度：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线，角α的终边（或其反向延长线）交切线于点T，则sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，MP、OM、AT为有向线段.

师：很棒！从“数”与“形”的角度准确复述了定义.概念清晰，题目自然不在话下，请看典型问题：已知角α的终边经过点P0（3，4），求角α的正弦、余弦、正切.

师：从“数”的角度快速得到了答案，还有不同方法吗？

生：过P0作P0M0⊥x轴，利用△OPM～△OTA～△OP0M0即可得到.

评析：通过对任意角的三角函数的数与形定义的回顾，抓住了概念的核心，通过对典型例题的两种角度的求解，强化数形结合思想，为学生的后续研究指明方法和方向.

3.变化问题——直入正题

师：完整吗？

生：先求点P，再求cosα，tanα.

师：可以不求点P，直接求cosα，tanα吗？回归定义，寻找关系.

生：在Rt△OPM中，MP2+OM2=1⇒sin2α+cos2α=1⇒又根据定义sinα=y，cosα=x，则

师：从“形”的角度得到了sin2α+cos2α=1，又从“数”的角度得到，这就是同角三角函数的基本关系.我们再看看这位同学的解题格式，准确吗？

生：不准确！上述答案有四种了，事实上只有两种，应该要分开来写.

师：关注细节，规范书写！（教师板演）

评析：通过变换问题，层层递进，逐步导出同角三角函数的基本关系，重点突出，提高学生分析问题和解决问题的能力.通过板演，规范书写，注重实效.

4.理解公式——提炼升华

师：对于公式，我们要关注公式的三个方面：结构、适用范围、运用.

结构：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.

适用范围：sin2α+cos2α=1；（α∈R）

运用公式：正、反、变三个角度.

评析：关注公式的三个方面，对应思维上的三个层次：记忆—掌握—应用，为后续研究新结论指明方法，提升了学生的思维.

5.运用公式——升华思想

（1）正用公式，完善认知.

例1判断以下说法是否正确：

⑥sin4α+sin2αcos2α+cos2α=1.

评析：通过正误辨析，去伪存真，进一步熟记公式.关注细节，培养学生思维的深刻性与缜密性.

（2）反用公式，掌握技巧.

师：观察很仔细，对公式的正向使用很熟练.下面我们反向观察，即从右往左看，公式一：sin2α+cos2α=1，发现“1”可以用“sin2α+cos2α”来表示.这里有个常用技巧“1”的逆代.公式二：t的右边是一个分式，且sinα与 cosα的次数是一样的，说明对于关于sinα与cosα的齐次式，可以采用“齐次化切”的方法来求解.

例2已知tanα=2，求值：

①sinα，cosα；

师：学以致用！利用切化弦直接得到方程组，体现了方程的思想.

生：发现第二问中的前三个式子都是齐次分式，所以可以上下同除cosα或cos2α直接得到关于tanα的表达式.

师：第四个式子怎么办？

生：先通过“1”的逆代，构造出一个二次齐次分式，然后与前面相同处理分式.

师：借助常用技巧“1”的逆代及齐次化切，成功解决问题，接受得很快.

评析：先通过对公式的分析，教师点拨其常用技巧.借助例题，运用技巧，提高学生的解题能力.

（3）多向变通，发散思维.

师：成功玩转了公式，那么能否写出更多的同角三角函数的关系式呢？

评析：学贵于思，思才有所获，在学生的最近发展区，提出这个问题，意在把有限的课内延伸到无限的课外，引导学生去思考，去探索，从中培养学生学习数学的兴趣，也为数学爱好者提供发展平台.

6.反思小结——再度升华

师：通过今天的学习，你有哪些收获？

生：掌握了同角三角函数的基本关系.

师：这是知识层面的收获，那方法上有收获吗？

生：有“1”的逆代，构造齐次式，切化弦等.

师：以后碰到新的公式知道怎么研究了吗？

生：可以从正、反、变三个角度加以研究.

师：这是方法层面上的收获，那数学思想上有收获吗？

生：数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、方程思想.

评析：课堂小结，从知识、方法、思想三个维度依次展开，对课堂教学进行提炼与升华，使学生对所学内容的全貌有一个清晰的认识.

三、课后思考

1.两点收获

（1）围绕目标，体现高效教学的特征.

高效教学是每一位教师的毕生追求，新课程下的高效教学需要一些特征：其一是主动性，教师如何在教学中调动学生学习的积极性，需要用针对性的问题，及时地引导和激励学生进行主动参与，由此设计一些与学生“最近发展区”相切合的有效问题显得尤为重要；其二是核心性，高效教学必须始终围绕教学目标实施，这是高效教学的根本，如何围绕根本设计问题是教师能力的渗透和体现；其三是归纳性，围绕根本教学展开的高效课堂，需要将教学核心和重点进行归纳达到教学的目的，从而提高学生对知识的产生和发展过程有清楚的认识和理解，宏观上有利于学生把握知识的结构和关系，有利于提升学生数学学习的能力.

本节课始终围绕三维目标展开教学.在知识与技能上，通过对同角三角函数的基本关系的讲解运用，学生能熟练掌握本节课的重点.在过程与方法上，通过对基本关系的探究与运用，让学生亲历知识的生成过程，掌握对一般新事物（如恒等式）的探究方法（正、反、变三个层面）.在情感态度价值观上，运用标题导入，让学生充分感受到数学是有用的，数学是自然的，提升学生学习数学的兴趣.

（2）精心设计，体现数学课堂的教育特色.

霍姆林斯基说过：“一名好教师意味着什么呢？首先意味着他是这样的人，他热爱孩子，感到跟孩子交往是一种乐趣.”一名好的教师不仅仅是看他的业务能力有多强，更要看他能否营造出一种宽松和谐、相互尊重的教学氛围，使学生轻松愉快地参与学习

在实际教学过程中，教师通过问题，循循善诱，启发学生的思维，引导学生进入知识本质的思考，归纳提升，让学生鱼渔皆得.细细品味本堂课师生间的每次对话，发现教师对学生的回答评价都很具体，注重评价思维过程，直指问题本质，充满了浓浓的人文关怀.这些都足以展现了教师深厚的教学功底、精湛的教学艺术及先进的教育理念.

2.两点值得商榷的环节

（1）在变化问题环节，执教者安排了两次问题的变化.笔者认为，第一次变化意义不大，而且点P坐标的求得，反而干扰了后面的探究.如果直接从典型问题变化到第二个问题，学生可能会更加容易回归到图形，直接发现勾股定理.这样可以留出更多的时间供学生自主探究.

（2）在反用公式环节，执教者先带领学生观察公式，总结出常用技巧，然后让学生根据教师提供的技巧加以求解.虽然学生对例2的求解比较顺利，但是学生在这个数学活动中的思维没有得到提升，充其量是对技巧进行一下操练而已.设想，如果先让学生求解例2，然后根据学生的解法（可能会与设定的方法有出入），不断修正，最后让学生自己提炼出常用方法与技巧，笔者认为这样更能调动学生的积极性，让我们的数学课堂更加精彩有效.

1.冒文文.“提炼”诚可贵，“升华”价也高——记一堂赛课“双曲线及其标准方程”［J］.中学数学（上），2015（6）.

2.王锋，杨志文.教学相长，点燃智慧之捻——对“导数的应用”一课的点评［J］.中学数学教学参考（上），2015（12）.