胡靖程鲲黄备兵*

（1.盐城工学院 电气工程学院，江苏盐城 224051；2.盐城工学院 数理学院，江苏盐城 224051）

半狄拉克费米子势垒透射系数的计算

胡靖1程鲲2黄备兵2*

（1.盐城工学院 电气工程学院，江苏盐城 224051；2.盐城工学院 数理学院，江苏盐城 224051）

通过求解半狄拉克费米子势垒问题的定态薛定谔方程，得到了半狄拉克费米子的透射系数与其入射到势垒方向之间的关系。本文分别计算了势垒在 x和 y方向上半狄拉克费米子的透射系数。这些结果表明半狄拉克费米子可以同时展现单层和双层石墨烯的势垒透射行为，为研究半狄拉克费米子的输运行为提供了有价值的理论参考。

半狄拉克费米子 势垒 透射系数

在经典物理中，粒子的运动行为完全由牛顿力学确定。当一个能量为 E的粒子遇到一个高度为 U0的势垒时，如果 E ＞ U0，粒子将完全通过势垒，相反粒子将会完全反射。而在非相对论性量子力学中，粒子的行为由薛定谔方程来描写。无论 E与 U0的大小关系如何，粒子总有一定的几率从势垒反射，同时也有一定的几率从势垒透射，展现出完全不同于经典力学的结果。

对于同样的势垒，粒子展现出完全不同的透射行为的主要原因是粒子的运动规律由不同类型的方程来刻画。在晶态固体材料中，晶格的存在可以有效地改变电子的运动特征。一个典型的例子就是两维石墨烯材料［1］。 在两维石墨烯材料中，电子的导带与价带在布里渊区中两个孤立点是简并的。在这两点附近，电子的能量动量关系是线性的，可以用无质量的满足狭义相对性原理的两维狄拉克方程来描写，因此这样的孤立点称为狄拉克点。对于狄拉克点附近的电子，理论计算表明依赖于电子入射到势垒的方向，电子的透射几率呈现复杂的变化。重要的是，对于某些特殊的入射方向，比如垂直入射的情形，电子可以完全透射，形成共振透射的现象［2］。

在两维石墨烯材料中，碳原子形成周期性的蜂房晶格。理论表明，通过破坏蜂房晶格各向同性的性质，布里渊区中的两个狄拉克点可以重叠在一起变成一个半狄拉克点［3］。在半狄拉克点附近，电子的能量动量关系在一个方向上是线性的，而在另一个方向上是二次的。第一性原理计算表明半狄拉克点可以在VO2/TiO2异质结中存在［4，5，6］。在这篇文章中，考虑到半狄拉克点不同寻常的能量动量关系，我们研究半狄拉克点附近电子的势垒散射问题。我们称半狄拉克点附近的电子为半狄拉克费米子。

1 模型

描写处于外势场 U（x，y）中半狄拉克费米子的哈密顿可以写成

在这儿 H0描写自由的半狄拉克费米子。是半狄拉克费米子的动量算符， α，β是两个常数参数， σx，σy是两个泡利矩阵

可以发现自由的半狄拉克费米子的哈密顿 H0对于 x方向上的动量 px是一次的，而对 y方向上的动量 py是二次的。这种不同的依赖关系势必影响半狄拉克费米子在不同方向上穿透势垒的行为。我们将分别考虑势垒在 x和 y方向上两种情况，计算半狄拉克费米子从不同方向入射到势垒的透射系数。

2 x方向上的势垒

假设 x方向上势垒的表达式是

a，U0是势垒的宽度和高度。为了后面叙述的方便，我们把x＜ 0的区域记为1区， 0 ＜ x ＜ a的区域记为2区， x ＞ a的区域记为3区，并且假设粒子都是从1 区入射到势垒上的。 由于势垒函数是分段光滑连续且与时间无关，定态薛定谔方程为

Ψ1，2，3（x，y）分别表示1、2、3区中粒子的波函数。注意到势垒（3）与坐标 y无关， y方向上的动量是一个好量子数，波函数应具有如下形式

ħ ky是 y方向上动量算符 py的本征值。将（5）带入薛定谔方程（4）得到

首先考虑势垒区域（0 ＜ x ＜ a）中解的形式。在势垒区域尝试平面波形式的解

可以得到

上述方程有非零解意味着

更进一步，我们可以获得相应的本征矢量

s '= sign（E - U0）。在这里我们不仅强加了波函数的归一化条件并且选择了波函数的相位使得 c为实数。1

在量子力学中，势垒问题相当于一个散射问题。在研究散射问题时，粒子的能量 E是一个已知量，同时 y方向上的动量 ħky也可以看成是已知量。因此为了使方程（9）成立， kx只可能取值

为了突出半狄拉克费米子能够以很高的几率透过高势垒这样一个事实，我们假设这意味着是实数。定义则在势垒区域定态薛定谔方程的通解为

a1，a2是待定系数。

上面的结果可以通过令 U0= 0直接推广到1和3区。定义则

r，t是待定系数，它们的模平方分别代表反射系数和透射系数， s = sign（E）。注意到在写3区的波函数时，我们已经丢掉了沿 x轴负方向传播的波。当我们假设粒子从轴负方向入射到势垒时，物理上这一项是不存在的。

从波函数的连续性条件，可以得到

这四个方程的求解给出

从这个结果，我们也可以得到同样的半狄拉克费米子共振透射的条件。

3 y方向上的势垒

在 y方向上势垒的表达式是

类似于 x方向上势垒的问题，求解过程是完全一致的，但有两个细微的差别。第一个不同的地方在于此时沿着 x方向上的动量ħkx是已知量，第二个不同的地方是对于固定的能量 E ，kx，满足方程（9）的 ky有四个可能的值。定义则在2区， ky可取四个值；对于1和3区， ky可取四个值。由于同样的原因在这里我们也假设定义

则在不同区域波函数的通解为

a1，2，3，4，b1，2，r，t是待定系数，代表反射系数和透射系数。利用波函数以及波函数导数的连续条件，可以求得透射系数及其他待定参数。在这里解析解的推导是非常困难的，我们利用数值方法求解这个问题。

4 结果和讨论

先说明一下无量纲化的方法。我们选择一个任意的长度 L以及ħα /L 分别作为长度单位和能量单位， 因而=EL /（ħα）0=U0L /（ħα），=ħβ /（Lα）x=kxL，k～y=kyL，a～ =a /L均是无量纲的量。长度可以选取为实现半狄拉克费米子的凝聚态材料的晶格常数。

定义φ 为半狄拉克费米子入射动量与 x轴之间的夹角，图1、图2分别展示了对于一些不同参数，当势垒在 x和 y方向上半狄拉克费米子的透射系数与入射角φ 之间的关系。在图1中通过将哈密顿（1）中变量 β py→ α，我们也计算了狄拉克费米子的结果（图1中的虚点线）。相比之下可以发现，对于我们的模型（1），当势垒在 x方向上时，除了透射共振的位置不同外，狄拉克费米子与半狄拉克费米子的透射行为是定性类似的。一个值得提到的地方是在入射角 φ≈0附近，半狄拉克费米子具有更好的透射行为。这是因为当 φ≈ 0时动量变化更慢，从而以及透射系数的改变也更慢。对这个解释另一有力的证明是当我们固定改变时，随着增大，在入射角 φ≈ 0附近半狄拉克费米子的透射行为逐渐减弱，正如图1中余下三条线展示的。当势垒沿着方向（看图2），我们仍然可以观察到透射共振的现象。此时与势垒在 x方向上一个显著的不同是当粒子沿着势垒方向入射（φ ≈ π/2）时，粒子将会完全反射。这个结果与双层石墨烯的结果是定性一致的［2］。因此综合势垒在 x和 y方向的结果，我们发现对于半狄拉克费米子系统，可以同时展现单层和双层石墨烯的势垒透射行为。

5 结语

本文分别计算了势垒在和方向上半狄拉克费米子的透射系数。这些结果表明半狄拉克费米子可以同时展现单层和双层石墨烯的势垒透射行为，为研究半狄拉克费米子的输运行为提供了有价值的理论参考。

［1］K.S.Novoselov， A. K. Geim， S. V. Morozov， D. Jiang， M. I. Katsnelson， I. V. Grigorieva， S. V. Dubonos， A. A. Firsov， Nature 438， 197 （2005）.

［2］M.I. Katsnelson， K. S. Novoselov， A. K. Geim， Nature Physics 2，620 （2006）.

［3］P.Dietl， F. Piechon， G. Montambaux， Phys. Rev. Lett. 100，236405 （2008）.

［4］V.Pardo， W. E. Pickett， Phys. Rev. Lett. 102， 11， 166803（2009）.

［5］V.Pardo， W. E. Pickett， Phys. Rev. B 81， 035111 （2010）.

［6］ H.Huang， Z. Liu， H. Zhang， W. Duan， D. Vanderbilt， Phys. Rev. B 92， 161115 （2015）.

江苏省自然科学基金（BK20130424）、国家自然科学基金（11547047）

胡靖（1996—），男，汉族，江苏盐城人，盐城工学院电气工程学院，学生。

黄备兵（1982—），男，汉族，安徽安庆人，盐城工学院数理学院，副教授，研究方向：冷原子物理和凝聚态物理。