林文贤

(韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041)



一类具阻尼项的三阶半线性中立型泛函微分方程的Philos型振动结果

林文贤

(韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041)

论文研究一类具有阻尼项的3阶半线性中立型泛函微分方程的振动性质,利用广义Riccati变换、平均不等式技巧和H-函数技巧,建立了保证该类方程的一切解Philos型振动或者收敛于零的若干新的充分条件,推广和改进最近文献的相应结果.

3阶泛函微分方程；阻尼项；Philos型振动

由于3阶微分方程的实际应用背景，近年来，3阶泛函微分方程的振动性和渐近性研究开始受到关注，最近的成果可以参看文献[1-12].论文将考虑如下的一类具阻尼项的3阶半线性中立型泛函微分方程

(1)

其中:α是两个正奇整数之比.

记I=[t0,+),R+=(0,+)，假设下列条件成立

(H1)r(t)∈C(I,R+),p(t),m(t)∈C(I,[0,+)),r′(t)≥0，0≤p(t)≤P<1，且

作者的目的是利用广义Riccati变换和H-函数技巧,建立使得方程(1)的每一个解Philos型振动或收敛于零的充分条件.当m(t)=0时,方程(1)就是文献[9]所研究的方程，因而论文的结论推广和包含文[9]的相应结果.

引理1[10]设 u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0，则对任一θ∈(0,1),存在Tα≥t0，使得

引理2[11]设u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>0,u‴(t)≤0,t≥Tα,存在β∈(0,1)和Tβ≥Tα,使得

引理3[12]设X,Y是非负常数，则Xγ+(λ-1)Yλ≥λXYλ-1，γ>1，当且仅当X=Y时等号成立.

引理4 设x(t)是方程(1)的最终正解,令

(2)

则y(t)只有下列两种可能，即存在T≥t0，使得当t≥T时，有

(A) y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0.

(B) y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0.

证明 设x(t)是方程(1)的最终正解及条件(H3),存在t1≥t0，当t≥t1时，有

易知y(t)>x(t)>0 ,且

则

在[t2,t)上对上式积分,有

为了证明下面的定理，引进如下一类函数F.令D0={(t,s)|t≥s≥t0},D={(t,s)|t>s≥t0}.称函数H(t,s)∈C1(D,R)称为属于F类,记作H∈F,如果

(i)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

(ii)H在D0上第二个变量有连续非正的偏导数.

定理1 设存在函数H∈F和h∈C(D0,R)，ρ∈C1(I,R+)，使得

(3)

(4)

(5)

其中

(6)

其中：θ,β由引理1、……