蒲军*，刘传喜，尚根华.中国石化石油勘探开发研究院，北京海淀 000832.中国科学院渗流流体力学研究所，河北廊坊 065007

3.中国科学院大学，北京石景山 100190

基于流线积分法的注水井网非稳态产量模型

蒲军1，2，3*，刘传喜1，尚根华11.中国石化石油勘探开发研究院，北京海淀 100083
2.中国科学院渗流流体力学研究所，河北廊坊 065007

3.中国科学院大学，北京石景山 100190

低渗透油藏注水开发通常表现为油水两相非达西渗流，基于达西定律推导的计算方法不再适用。根据流线积分法基本原理，考虑启动压力梯度的影响，推导了单根流管中油水前缘突破前后的产量计算公式，然后引入面积井网注水开发过程中启动角的计算方法，最终通过建立数值积分可以得到不同井网形式下的非稳态产量计算模型。对比了模型计算结果与油田实际生产数据，证实了模型的可靠性，能够满足油田现场产量预测的要求。运用该模型计算并探讨了启动压力梯度、井网形式及生产压差对油井生产动态的影响，发现启动压力梯度对油井生产影响大，在开发指标预测过程中不能忽略；五点井网产量高、递减慢，在条件允许的情况下应该尽量采用五点井网；合理提高生产压差能够提高采油速度，缩短油田开发周期，开发效果好。

低渗透油藏；启动压力梯度；非达西渗流；流线积分法；启动角

蒲军，刘传喜，尚根华.基于流线积分法的注水井网非稳态产量模型[J].西南石油大学学报(自然科学版)，2016，38(5)：97106.

PU Jun，LIU Chuanxi，SHANG Genhua.Non-steady Water-flooding Production Model of Areal Well Pattern Based on Flow Line Integral Method[J]. Journal of Southwest Petroleum University(Science&Technology Edition)，2016，38(5)：97106.

引言

采用面积井网向储层注水可以有效保持油层压力，提高油藏采油速度和采收率，是开发低渗透油藏的重要手段[1]。但低渗透油藏孔喉微细，比表面积大，注水过程中油水两相分别与岩石壁面发生物理化学作用而被束缚在孔喉表面形成吸附层，存在附加启动压力梯度[2—6]。而目前油田注水开发设计中应用的油藏工程方法是建立在达西渗流理论基础之上的，低渗透油藏并不适用[7—8]。因此，建立一套针对低渗透油藏注水开发设计的计算方法十分必要。

20世纪末以来，国内很多高校和科研机构都开始深入研究低渗透油藏油水两相渗流规律。西南石油大学，中国石油大学，中科院渗流所，中国石油，中国石化等都开展了相关室内实验和数值模拟研究，取得了一定成果[9—13]。大庆油田的计秉玉等还运用流线积分法推导了单相渗流条件下的低渗透油藏面积井网产量计算公式[1—4]，但基于该原理的油水两相渗流条件下的产量计算方法还未有见研究。本文在总结前人工作的基础上，建立了基于流线积分法的低渗透油藏面积井网注水开发产量数学模型，并运用该模型计算分析了启动压力梯度、井网形式、井距、生产压差对油井产量的影响，为低渗透油田注水开发设计提供了理论指导。

1 建模思路与基本假设

流体在地层中的流动可以看作是流体沿着无限根微小流管(图1)从水井流向油井，油井的产量等于所有指向油井的流管产量之和。因此，本文的主要建模思路是以微观流管为计算单元，首先推导出单根流管的水驱产量计算公式；然后引入低渗透油藏油水两相渗流过程中启动角的计算方法；最终建立数值积分得到所有流管产量之和，即为油井产量。

图1 流管示意图Fig.1Sketch map of flow tube

假设地层等厚均质，渗流流体为油相和水相，地层与油水相均不可压缩。

2 单根流管产量

2.1 油井见水时间

取流管中轴线为x轴，修正Buckley-Leverett方程，可以得到流管内等含水饱和度面移动方程

取油水前缘含水饱和度为Swf，且从t=0时开始注水，流管内油水井距为L，井半径为rw，代入式(1)并积分，有

上式可以解出油井见水时间tf。

2.2 油井见水前产量

当t≤tf时，油井未见水，流管可以油水前缘为界划分为油水两相渗流区和纯油相渗流区。设油水前缘位置为ξ，对式(1)积分，得到

可以解出ξ，ξ是时间t的函数。

(1)当rw＜x≤ξ时，油水两相渗流区

此时油相和水相的启动压力梯度均为含水饱和度的函数，分别设为λ(p1)、λ(w1)。油相运动方程为[]

由于

上式在(rw，ξ]区间内积分，得到

(2)当ξ＜x≤L时，纯油相渗流区

设束缚水饱和度下的油相启动压力梯度为λ(2)，有运动方程

上式在(ξ，L]区间内积分变化，得到

由于

并令油水综合启动压力梯度为λ(1)，计算公式如下

将式(7)、(9)、(11)代入式(10)，变化后可得

其中

因此，有

此外，含油率fp(Sw)与可动油饱和度Z有如下关系[15]

因为

有

因此

根据式(1)，对任意含水饱和度面有

将式(22)代入式(16)，可以建立积分式与坐标x的关系如下

因此

将式(22)代入式(25)，确定Sw与x的关系

通过室内实验或油田现场测试可以得到λ(1)与Sw的关系，并结合式(26)，可以确定λ(1)与x的函数，记为λ(1)(x)，具体的表达式与测试结果有关。

将式(23)和λ(1)(x)代入式(12)，可以得到油井见水前流管产量为

2.3 油井见水后产量

当t＞tf时，油井已见水，整根流管成为一个油

水两相渗流区。此时，流管产油量为流管油水总流由前面的推导过程可知，两相渗流区的总流量量与油井井壁含油率的乘积计算公式为

上式在[rw，L]区间内积分变化后可以得到

根据前面的推导，上式可以变成

将式(22)代入式(17)，并取x=L，可以计算得到油井井壁处的含油率fp(pil-well)(Sw)，表达式如下

将式(31)和式(32)代入式(28)，可以得到油井见水后的流管产量为

最后得到的单根流管的产量计算公式为

3 启动角计算

低渗透油藏普遍存在启动压力梯度，在一定井网井距和生产压差下，单元内的流体不一定都能流动，表现为存在启动角(图2)。

图2 计算单元示意图Fig.2Sketch map of calculation unit

根据图2建立几何关系如下

由式(35)和式(36)可以得到

且波及外边界ABC处于临界状态，流速υ=0，于是有

α1、β1的值随不同井网形式而变化，将式(40)代入式(39)并解三角函数方程，可以得到启动角α0。

4 油井产量计算

综上所有计算过程，单根流管产量计算得到了微元，启动角计算确定了区间，这样可以通过建立数值积分得到不同面积井网注水开发方式下的非稳态产量。主要计算过程如下：

(1)根据油田现场及室内实验测试资料确定参数pe、pw、rw、K、φ、μw、μp、λ(2)。

(2)根据公式(2)确定油井见水时间tf。

(3)根据式(3)确定油水前缘位置ξ。

(4)根据油田现场或室内启动压力梯度测试结果确定λ(1)与Sw的关系，结合式(26)最后得到λ(1)(x)。

(5)根据式(13)～式(15)，以油水相渗曲线为基础，拟合得到p与Z的二次多项式，可以确定常数A、B、C。

(6)根据式(17)，以油水相渗曲线为基础，拟合得到fp(Sw)与Z的幂函数关系式，确定常数a、b。

(9)将步骤(1)～(8)得到的参数代入公式(34)中，可以得到单根流管产量。

(10)建立数值∑n积分，得到不同面积注水井网非稳态产量

i=1p

常见井网关键参数见表1。四点法井组：m=6；五点法井组：m=8；反九点法井组：m=4(边井)，m=8(角井)；平面线性流：m=1；平面径向流：m=1。

表1 常见井网关键参数表Tab.1The key parameters of some well patterns

5 计算与分析

以研究区某区块为例进行计算，该区块基本参数见表2。对该区块进行取芯，并在室内测试了其相渗曲线和综合启动压力梯度曲线，结果分别见图3和图4。

表2 某区块基本参数Tab.2Parameters of a certain block

图3 某区块相渗曲线Fig.3Relative permeability curves of a certain block

图4 油水两相渗流的综合启动压力梯度曲线Fig.4Relationship between startup pressure gradient and water saturation

5.1 模型误差分析

筛选了该区块资料齐全、可对比分析的油水井组，采用非稳态产量模型进行了计算(定压生产)，并将计算结果与实际生产动态进行了归一化处理，对比结果见表3。

表3 油水两相渗流结果对比Tab.3Comparison of calculation result and real production performance under oil-water two-phase flow

由以上结果可以看出，采用基于流线积分法的非稳态模型计算得到的油水两相非达西渗流条件下的产油量结果与实际生产结果的误差是变化的，低含水期的计算误差低于中高含水期，这说明接近单相渗流时该模型的计算结果更精确。但模型计算结果与实际生产结果的误差平均值仅为1.11%，完全能够满足现场产量预测的要求。

5.2 启动压力梯度对产量的影响

假设油水井距为200 m，生产压差为25 MPa，计算并绘制了四点法、五点法井网油井生产动态曲线，并取λ(1)=0，λ(2)=0为计算特例，对比分析了启动压力梯度对油井日产油量的影响，计算结果见图5、图6。

图5 四点井网计算结果对比Fig.5Comparison of calculation results of 4-spot well pattern

图6 五点井网计算结果对比Fig.6Comparison of calculation results of 5-spot well pattern

由以上结果可以看出：在低渗透油藏中，不考虑启动压力梯度的计算结果明显大于考虑启动压力梯度的计算结果；且考虑启动压力梯度后，油井产量递减更快。这说明启动压力梯度对生产动态的影响大，低渗透油藏在进行开发指标预测及开发方案制定时必须考虑启动压力梯度的影响。

5.3 井网对产量的影响

假设油水井距为200 m，生产压差25 MPa，计算对比了四点井网、五点井网、反九点井网边井与角井的生产动态(图7)，探讨了井网形式对产量的影响。由图7可以看出，在相同的生产条件下，五点井网产量最高。因此，对于新区井网部署和注水开发设计时，如果条件允许，则应首先考虑采用五点井网。

图7 不同井网形式对产量的影响对比Fig.7Comparison of calculation results of different well patterns

以五点井网为例，假设生产压差为25 MPa，计算对比了50，100，150，200及300 m井距条件下的油井日产量(图8)，分析了井距对产量的影响。由图8可以看出，井距越小，油井产量越高，但递减越快，生产成本越高。因此，油田现场不能仅靠减小井距来提高产量，应该综合考虑油井产能、井控储量及经济界限等因素的影响，才能确定合理的井距。

图8 井距对产量的影响Fig.8Comparison of calculation results of different well spacing under 5-spot well pattern

5.4 生产压差对产量的影响

仍然以五点井网为例，假设井距为200 m，计算对比了10，15，20及25 MPa生产压差条件下的油井日产量(图9)，研究了生产压差对产量的影响。由图9可以看出，生产压差越大，油井产量越大，提高生产压差可以提高采油速度，缩短油田开发周期，因此，合理提高生产压差是油田增产的有效措施。

图9 生产压差对产量的影响Fig.9Comparison of calculation results of different production pressure differential under 5-spot well pattern

6 结论

(1)根据流线积分法基本原理推导了面积井网注水开发非稳态产量计算模型，并通过与现场实际生产数据进行对比分析，证明了模型的可靠性，能够满足油田现场产量预测的要求。

(2)通过计算分析了启动压力梯度对生产动态的影响，指出在低渗透油藏开发指标预测及开发方案制定的过程中必须考虑启动压力梯度。

(3)探讨了井网形式及井距对生产动态的影响，指出在条件允许的情况下应该尽量采用五点井网，但合理井距需要综合考虑多种因素的影响才能确定。

(4)研究了生产压差与油井日产量的关系，指出合理提高生产压差能够提高采油速度，缩短油田开发周期，取得较好的开发效果。

符号说明

K—地层渗透率，mD；

K—rp油相相对渗透率，无因次；Krw水相相对渗透率，无因次；φ孔隙度，无因次；

p—e注水井井底流压，MPa；

p—w采油井井底流压，MPa；

p—油水前缘压力，MPa；

μ—p油黏度，mPa·s；

μ—w水黏度，mPa·s；

λ—(p1)两相渗流区油相启动压力梯度，Pa/m；

λ—(w1)两相渗流区水相启动压力梯度，Pa/m；

λ—(1)两相渗流区综合启动压力梯度，Pa/m；

λ—(2)单相渗流区启动压力梯度，Pa/m；

S—w含水饱和度，无因次；

S—wf前缘含水饱和度，无因次；

S—pr残余油饱和度，无因次；

Z—可动油饱和度，无因次；

A—(x)流管截面积，m2；

t—流动时间，s；

f—w(Sw)含水率，无因次；

f—p(Sw)含油率，无因次；

f—(pil-well)(Sw)油井井壁含油率，无因次；

p—fw'(Sw)含水率导数，无因次；f'(S)含油率导数，无因次；

pw

f—w'(Swf)油水前缘含水率导数，无因次；rw井半径，m；

L—流管中轴线长度，m；

l—油水井距，m；

ξ—油水前缘位置，m；

t—f油井见水时间，s；

q—w流管内水流量，m3/s；

q—p流管内油流量，m3/s；

q—(t)流管内总流量，m3/s；

h—地层厚度，m；

d—平面线性流井排长度，m；

m—井网系数，无因次；

a、b、A、B、C 相渗常数，无因次；

α0、β0—启动区域夹角，rad；

α1、β1—计算单元夹角，rad；

α、β—流管中轴线与油水井连线夹角，rad；Δα流管夹角，rad；

Qp—油井产量，m3/s。

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蒲军，1982年生，男，汉族，四川南充人，工程师，硕士，主要从事低渗透及致密砂岩油藏开发方面的研究。E-mail：pujun830@sohu.com

刘传喜，1964年生，男，汉族，重庆铜梁人，教授级高级工程师，硕士，主要从事油气藏开发机理、生产动态分析、开发方案及战略规划等方面的研究。E-mail：lcx5189.syky@sinopec.com

尚根华，1964年生，男，汉族，河北行唐人，高级工程师，博士，主要从事提高采收率、核磁共振、油气藏模拟和缝洞油藏不确定性及优化等方面的研究。E-mail：shanggh.syky@sinopec.com

编辑：张云云

编辑部网址：http：//zk.swpuxb.com

Non-steady Water-flooding Production Model of Areal Well Pattern Based on Flow Line Integral Method

PU Jun1，2，3*，LIU Chuanxi1，SHANG Genhua1
1.SINOPEC Petroleum Exploration and Production Research Institute，Haidian，Beijing 100083，China 2.Institute of Porous Flow and Fluid Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Langfang，Hebei 065007，China 3.University of Chinese Academy of Sciences，Shijingshan，Beijing 100190，China

The development of low-permeability reservoirs displays non-Darcy flow in the process of water-flooding，which makes the calculation methods based on Darcy's law not applicable.Based on the flow line integral method and considering the threshold pressure gradient，the production calculation formulas of the flow tube before and after water break-through were derived，then the calculation method of startup angle in the water-flooding development of areal well pattern was introduced，and finally the non-steady water-flooding production model of low-permeability reservoirs was established through numerical integration.This model could be used to predict the production of oil wells，and the reliability of the model was approved by comparison between calculation and realproduction.Applying the model to a certain block，we analyzed the effect of threshold pressure gradient，areal well pattern and production pressure drop in oil production.The results show that the threshold pressure gradienthad great influence on the production ofoil well，so it could not be ignored when predicting the development index；the production of five-spot well pattern was larger than others while its decrease was slow，so the five-spot well pattern is suggested in the oilfield；and the increase in production pressure drop could enhance the rate of production and shorten the development cycle of oilfields.

low-permeability reservoir；threshold pressure gradient；non-Darcy flow；flow line integral method；startup angle

10.11885/j.issn.16745086.2014.10.15.01

16745086(2016)05009710

TE348

A

http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1718.TE.20161010.1146.012.html

20141015

时间：20161010

蒲军，E-mail：pujun830@sohu.com