张月媚

[摘 要] 本文首先简介GeoGebra软件，并对其有别于“几何画板”的常用功能及常用注意点进行说明；结合3个高中数学教学案例分析探究GeoGebra软件在动态教学中的有效性应用.

[关键词] GeoGebra；动态教学；有效应用

[?] 关于GeoGebra软件

1. GeoGebra软件简介

GeoGebra软件是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter于2001年设计开发的免费开源的动态数学教学软件. GeoGebra软件的名称拆开来就是“Geo”+“Gebra”，意思是结合了几何（Geometry）与代数（Algebra）. GeoGebra是一个结合几何、代数、微积分和统计功能的动态数学软件，可应用于多种平台（Window、Mac、Linux等），提供56种语言支持，已在欧洲和美国荣获多项教育类软件奖项.它旨在帮助教师设计有趣的教学方法，为学校提供充满活力的数学教学，功能强大，在国外以及我国港台地区有极其广泛的使用.目前可以下载的最新版本是GeoGebra 5.0中文版.

2. GeoGebra软件有别于“几何画板”的常用功能介绍

（1）作两曲线的交点，如图1.

（2）移动参数滑杆，改变参数值，如图2.

（3）代数区的每个代数式左侧圆圈有显示和隐藏功能，圆圈实心时绘图区显示代数式对应的图像，点击圆圈，实心变空心，隐藏绘图区代数式对应的图像，如图3. 当然，同几何画板一样，GeoGebra软件也有显示和隐藏按钮，在工具区中有一个复选框，可以选择多个对象同时显示或隐藏.

3. GeoGebra软件的常用注意点

（1）指令区输入“a=（-4，5）”表示向量“a=（4，5）”；输入“A=（1，2）”表示点“A（1，2）”.

（2）指令区输入“y=log（x）”表示“y=lgx”；输入“y=”表示“y=log2x”.

（3）在工具区的文本框中输入“y=log_{2}x”生成文本“y=log2x”.

（4）要生成文本“y=2x”，在工具区的文本框中输入“y=2^x”，并勾选“LaTeX数学式”.

（5）要生成文本“”，在工具区的文本框勾选“LaTeX数学式”并选择分式“”，则编辑区中显示“＼frac{a}{b}”，改成“＼frac{1}{2}”.

（6）如果“a”设置为参数，例如，已作出“y=ax”的图像，要生成文本“y=ax”，并且文本“y=ax”中的“a”要随着滑杆的“a”的值变化而变化，此时在文本框输入“y=a^x”（用对象中的“a”输入），如图4.

鼠标右键点击绘图区空白处，显示菜单，进入菜单中的 “绘图区”，修改x轴的间距为.

（8）如果教学时感觉GeoGebra界面的字太小，可以调整菜单中“选项”的“字号”.

[?] GeoGebra软件在动态教学中有效性应用的案例探究

1. 案例1：曲边梯形的面积的片段教学

引导学生联想小学求圆的面积的方法，获得“以直代曲”“无限逼近”的思想，提出“能否用这种‘以直代曲的思想求曲边梯形的面积（如图6）”.

具体如何操作？

学生思考、尝试，师生交流、探讨之后，获得：

可以对曲边梯形分割（等分）成若干份，每份用矩形近似代替，求出所有矩形的面积和，当分割越来越细时，所有矩形的面积和逼近曲边梯形的面积.具体操作如下：

（1）分割：把曲边梯形等分成n个小曲边梯形. 区间[0，1]被等分成n份，第i个区间如何表示？

（2）近似代替：每个小曲边梯形用小矩形近似代替，若以每个小曲边梯形左边为高，作小矩形（如图7，在GeoGebra环境下，先设置参数n，在右侧指令帮助区找到“函数与微积分”中的“上和”，粘贴至指令区，输入“上和（f（x），0，1，n）”，即可自动生成图7），求出第i个矩形的面积bi=f

（3）求和：求出所有小矩形的面积和：

最后让学生观察，移动参数n的滑杆，当n越来越大时，上和d和下和c的值越来越逼近0.33，验证曲边梯形的面积为.

探究求曲边梯形的面积的过程，关键是使学生对“以直代曲”“无限逼近”的思想有直观感觉. 这一过程是动态的，用静态的黑板作图无法呈现，而GeoGebra软件利用指令“上和（f（x），0，1，n）”或“下和（f（x），0，1，n）”，自动生成图7或图8，并且移动参数n的滑杆，当n越来越大时，用所有小矩形近似代替曲边梯形.

2. 案例2：一道函数与方程的习题

在一次练习中，下面这道题的正确率为0，为什么会出现这样的结果？

其次，“ xk（k∈N*，k≤4）是方程x4+ax-4=0的根”转化为“xk（k∈N*，k≤4）是方程x3+a=的根”，即“xk（k∈N*，k≤4）是两曲线y=x3+a与y=交点的横坐标”. 在GeoGebra环境下，设置参数滑杆a，建立函数y=x3+a，如图10.

上面两个条件结合，即“两曲线y=x3+a与y=交点在直线y=x的上方”. 移动滑杆，变化a值，观察何时满足条件. 学生容易看出，a的下界值是曲线y=x3+a过点（-2，-2）时，此时a=6，故所求的a的取值范围是a>6.

在曲线y=上，而且在直线y=x的上方部分，如图9中的粗线部分”得到很好的直观呈现. 移动滑杆，变化a值，两曲线y=x3+a与y=交点在动态变化，何时在直线y=x的上方一目了然. 这个环节手工作图无法体现，这正是GeoGebra环境下移动滑杆变化参数值的最大优越性.

3. 案例3：构造辅助圆解决与三角形有关的问题

题目：已知在△ABC中，AB=，C=60°，BC=a，这样的三角形存在两个，则a的取值范围是_______.

根据正弦定理，=2R（R为△ABC的外接圆半径），则R=1.

“三角形存在两个”即当a取一个值，BC长固定时，点C在圆周上的位置有两个，而这两个点C位置关于过点B的直径对称，如图12. 移动点C，观察点C在圆周上运动是否有限制范围，点C不能在劣弧AB上，因为C=60°，所以点C也不能在劣弧AB关于过点B的直径对称的劣弧A′B上，如图13. 故边BC长度介于边AB与直径之间，即a的取值范围是（，2）.

在GeoGebra环境下，分析、作图、移动点C，直观理解点C不能在劣弧AB上，也不能在劣弧AB关于过点B的直径对称的劣弧A′B上，容易化解教学难点.

变式1：若点O为△ABC的外心，则·的取值范围是__________.

已知AB=，C=60°，上文已求CO=1，点C在圆周上运动，如图14.

若考虑几何意义，点C在圆周上运动时，在上投影何时最大？何时最小？移动点C，显然看出与平行且同向时，在上投影最大，与平行且反向时，在上投影最小. 故·的取值范围是

在GeoGebra环境下，点C动起来，学生思维被激发出来，容易看出在上投影取最大、最小时的状态.

变式2：在变式1中，增加条件“A为锐角”，则·的取值范围是______.

移动点C，“A为锐角”的临界状态是什么？当“A为直角”（如图15），此时在上的投影是多少？学生容易看出，在上的投影是

，所以·的上界值是

在GeoGebra环境下，移动点C，学生容易看出“A为锐角”的临界状态，及“A为直角”时在上的投影，化静态为动态，借助动态几何直观，突破教学难点.

从2014年开始，笔者主持了一个与GeoGebra软件有关的教学课题，在实践应用中，深切感受GeoGebra软件的先进性和优越性. 但从各地学校看，GeoGebra软件教学应用尚未普及，很多数学教师只知“几何画板”，不知“GeoGebra”.写此文，其一是GeoGebra软件对于笔者有感动，已有感情；其二是希望GeoGebra软件在广大数学教师中推广普及.