高满意

[摘 要] 错题教学研究是很有价值的，从很多教学实践来看，教师对于错题教学往往根本没思考如何研究，仅仅是对学生为什么解不好这样的问题做出了解答，这样的错题教学失去了反思学生为何易错的思考，因此教师需要从学生的视角去思考才能得到教学的有效性.

[关键词] 错题教学；数学；反思；学生；概念；思想方法；算理；有效性

错题教学是很有研究价值的，随着知识难度的上升和知识广度的扩展，学生对于数学问题犯错的可能性就愈来愈多.笔者通过教学实践发现，对于学生解题犯错的主要原因是多种多样的，主要集中在：第一，对于数学概念和性质的理解；第二，学生在运算能力方面的不足；第三，学生解决某些问题时思想方法使用不足.

近期笔者聆听了一堂高三试卷讲评课，教师主要是对某次大型联考进行了试卷分析，并从错题讲解、分析的角度进行了试卷讲评. 从该教师复习课的内容来说，笔者觉得展示了相当不错的两个方面：首先是该教师致力于问题优秀解法的分析、展示、引导，努力向学生渗透解决问题的最优思路；其次是该教师对一些问题还给出了一题多解，让学生从不同角度思考了问题解决. 笔者在观摩后陷入了思考：错题教学仅仅分析好的解法是不是还显得不足？我们是否可以更深入地从学生为何犯错的角度去思考？哪种方式方法更适合学生？笔者以为，不能仅仅从一题多解的角度分析试题就结束了，而要从优秀试题中去寻找与高考相关的信息，并进行探讨、分析和深究，只有不断进行不同角度的错题反思教学，才能激发学生深思考，使得问题的分析有效.

[?] 概念型错误的分析

高中数学概念相对于初中来说有了长足的抽象发展，诸如映射概念（函数概念），平面向量基本定理，空间几何的公理化体系，解析几何中椭圆、双曲线等几何定义，等等，概念型错误都是学生对概念的掌握不够扎实而形成的. 比如本次试卷讲评课中，教师就下面的概念问题进行了分析：

问题1：对任意x∈R都能满足下列等式的函数f（x）是______________.

（1）f（x+1）=x2+x；

（2）f（x-1）=x2-x；

（3）f（x2-2x）=x+1；

（4）f（x2+4x）=x+2.

分析：本题该教师的处理方式是，通过换元手段来求解函数f（x）的解析式，比如对于（1）式，该教师将x+1=t（t≥0），进而求解出函数f（x）的解析式. 在求解的过程中，由于绝对值的存在，该教师还在这里进行了分类讨论的分析，时间耗时较多而且学生对于这样的解法显得比较沉闷. 笔者细细想来，觉得该教师对于学生为什么犯错，本题所想突出的考查意义都没有进一步考虑清晰，这样的错题讲评教学往往是大打折扣的. 笔者以为，本题是加深考查函数概念的体现，这说明我们自身对函数概念的理解并未到位，这足以让错题的分析失去效率. 因此，笔者认为应该在理解概念的基础上进行分析才是关键.

纠错分析：笔者认为，首先应该从函数的概念入手，层层深入地设计错题分析，并循序渐进地让学生产生错题反思的顿悟：①引导学生回顾函数的概念：何为函数？即集合A中的任何一个元素都在集合B中有唯一的元素与之对应，这样的数集之间的对应关系称之为函数关系. 用通俗易懂的语言来说，就是“一对一”和“多对一”. 这样的函数概念回顾，是学生显而易见且可以接受的. ②对于本题错误的主要原因在于学生未能深刻认知函数的概念，本题中问是否存在这样的“对任意x∈R都能满足下列等式的函数f（x）”，即指是否存在这样的“一对一”或“多对一”的对应关系. ③因此，将问题所追溯的本意理解清楚后，我们不再需要像前面去求函数f（x）的解析式是否存在，只需要研究这样的“一对一”或“多对一”的对应关系是否存在即可. 以（1）为例，不妨设x=1与x= -3，则f（2）=2或f（2）=6，违背了函数定义的要求.同理可知，（2），（3）也都不正确，所以答案为（4）.

提示：正是因为我们对于数学概念的理解停留在表面，所以很多问题都没有深入思考，导致简单的问题复杂化了. 这个例题考查的是最基本的函数概念，这样的错题要从概念入手、加深理解和思考，才能激发学生对错题更深的理解，多思考概念的本质才是提高解题效率的关键所在.

[?] 运算错误的分析

运算错误是学生比较常见的错误类型之一，这里涉及的运算不仅仅是简单的计算，更重要的是算理. 高中数学的很多问题，看似都会做，但是在算理上选择更方便的道路，才是问题解决的关键.我们常常听到学生这样反思试卷上的运算错误：这里我看错了，那里我算错了. 其实，这些看错、算错的背后都是有原因的，主要还是因为算理没有掌握好. 举一个案例：

分析：这是一道典型的离心率求解问题.笔者聆听了教师对本题的分析，从试题讲解中教师主要点出了如何使用较好的方式处理，并还非常特别地研究了平面几何中一些特殊性质的运用来解决本题.学生在课堂中发出惊叹声！听完本题的讲评之后，笔者连连摇头，本题对错误的分析没有点到位置、一针见血！因为学生解不来主要是运算算理出了问题，教师没有点评到位；平面几何性质的使用过于追求技巧，没有推广的价值，不提也罢.

如何使用才是问题最关键的算理所在. ②恰当的几何方式可以简化代数运算，这是指导平面解析几何问题解决的重要指导思想. ③对于类似问题，是否应该加强更多的变化以供学生后续巩固、探索、提炼？跟着这三个想法，笔者认为首先教师要向学生讲明条件

分析：这样的问题首先要理解问题的含义，显然问题的含义是指对任意函数f（x）上的点，都存在另外一个点，使得“x1x2+y1y2=0成立”. 如何分析这一条件呢？代数化的运算不可能做到一一验证，转念一想x1x2+y1y2=0恰是·=0的坐标表示，因此利用数形结合思想，只要使任意过原点的直线l1与函数f（x）有交点，那么此时过原点且与l1垂直的直线l2和函数f（x）也有交点.分析可知②④正确.

提升：从数形结合思想的角度，巧妙地将问题转化为图形表述，若一味地思考代数化，本题将很难下手解决. 对于这样的错题，笔者建议教学从思想角度的方向进行引导，提高学生利用更高观点解决问题的悟性.

错题教学的反思是教学进步的源泉，笔者以为，要从讲题方法性上继续研究和思考，多思考就能发现更多的解决问题的方法，将错题为什么错的原因深究出来，将犯错背后的原因放大分析，有助于问题讲评的有效性和高效性.