江苏省灌云高级中学　(222200)

卞文辉



从学生的错误出发
——由一节高三复习课谈起

江苏省灌云高级中学(222200)

卞文辉

布鲁纳认为知识的学习是以已有的有关知识和经验所构成的认知结构为基础，或者接受比以前更精练的知识，或者修正以前的错误认识.而在数学学习过程中，产生错误是不可避免的.高三一轮复习后，学生对高中数学已经建构了较严谨的知识体系，并掌握了一些常规的解题方法，此时学生的解题错误一般都是因考虑不周所致，善用这些错误资源，可以增强学生思维的严谨性，提高学生的解题能力.现以线性规划中一个常见错误为引例，教会学生多变量求范围的一些处理方法，供大家参考.

1.课堂简录

1.1错误展示，修正解答

图1

图2

1.2寻找错因，铺垫后文

师：那么错误的原因在哪？

师：该错误中有什么合理之处吗？

生3：由图2可知，x,y的取值范围都是正确的，因为x,y确实都是λ,μ的双元函数.

师：是的，这是一个很好的发现！其实若只求线性区域中一个字母的范围，我们恰可以用该“错误”方法来求解.

1.3适当引导，探求新法

试题2(2015·浙江文科20题)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).

(1)略；(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，且0≤b-2a≤1，求b的取值范围.

生4：由f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在[-1,1]上存在零点，可以按函数有一个零点和两个零点来分类讨论：

图3 图4

生4：可以把b表示为关于x,a的双元函数来求解.

师：很棒，你来继续说说.

生4：易知b=-x2-ax，x∈[-1,1]，但是…(挠头)但不知道a的范围，只知道0≤b-2a≤1！

师：是啊，可惜差点就顺利了，能想想办法吗？

师：很棒！那么这个复杂的线性规划问题就被我们巧妙地转化为双元函数的值域问题，谁来求一下？

师：还有其他方法吗？

①当x=0时，b=0；

1.4发散思维，迁移应用

试题3(2011·江苏19改编)已知a,b是实数，函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f′(x)g′(x)≥0在区间Ⅰ上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间Ⅰ上单调性一致.

(1)略；(2)设a<0,b≤0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致，求a-b、a2-b2的取值范围.

师：对于上述问题，谁来求一下？

图5

师：请大家再思考一下，哪位同学来讲一讲？

师：很棒，通过本题我们体会到线性规划问题实质上就是一个双元函数，我们解题时可以根据题目特征，灵活选用合适的手段来求解.

3　课后感悟

高三二轮复习就是要把学生缺漏的知识修补起来，孤立的联系起来，杂乱的条理起来，让学生形成系统的知识结构，承上启下，是促进知识灵活运用、发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期.

3.1由实际学情主导教师选题.

在高三的二轮复习中，主要任务就是在已有知识和经验的基础上修正以前的错误认识.我们复习的服务对象是学生，因此教师必须了解学生在各知识块、数学方法等方面的最新发展情况，对待错误，更要分析学生的错误原因、指出错误步骤、解释清楚，不能轻描淡写，一语带过.而且此时的错误大多都是学生一再重复的、根深蒂固的错误，这些错误在某些方面逻辑甚至是正确的，只是考虑的不够全面.

如题目1错误解法中对变量x,y各自范围的求解本身恰是正确的.针对这种错误，教师可以根据学情，精心设计学案，在课堂上修正错误的同时，进而利用错误的价值来解答其它问题，如题目2，正是用了学生错误的“合理之处”回避了复杂的讨论与精确的画图，从而化繁为简.在改编题目3时教师“别有用心”地增加了求a2-b2的取值范围.不难看出本题的改编有助于学生进一步把握各知识点之间的区别与联系，加深对知识的理解.

3.2由学生探究建构高效课堂.

人人都希望展示自己的能力和成就，并得到他人的认可，马斯洛认为，被肯定的需要是人的一种“拟本能”需要，被肯定需要若得到满足，能使人对自己充满信心，对事业满腔热情，做事更有效率，从而体验到实现自我价值的幸福感.高三学生同样有被肯定的需要，还具有较强的思维力.在教师精心预设的情况下，由学生自主探究解题途径，有助于树立学生解题信心，保持数学学习热情，提高学习效率并获得满足感，最终让数学课堂更有实效.

3.3由独立思考发散学生思维.

线性规划问题本质上就是一个双元函数，但学生受知识水平限制很难体会，教师也很难在语言上把两者的关系介绍清楚.孔子有云：“不愤不启，不悱不发”，高三的二轮课堂更应如此，学生如果不经过思考并有所体会，就不去开导他；学生如果不是经过冥思苦想而又想不通，就不去启发他.题目3给予学生充足的再思考时间和空间，通过独立思考体会数学各个知识模块之间的内在联系，教师最后适时点评，画龙点睛，力求让学生形成系统化、条理化的知识框架，体会解题的灵活性和变通性.

总之，高三的二轮复习，教师的备课更要立足学生的实际学情，精心设计学案，根据学生当前的知识储备、认知规律，善待学生的解题错误，让学生思维发展得更流畅.

[1]梁宁建．当代认知心理学[M]：上海教育出版社，2014.